求 x 趋于 0 时 (cos²x − 4cos x + 3) / sin²x 的极限。

Step-by-step solution

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   先看类型。 在 $x=0$ 处，$\cos 0=1$，所以分子是 $1-4+3=0$，而 $\sin^2 0=0$。这个商是 $\tfrac00$ 型，因此必须先做代数变形，代入才能奏效。

2. 2

   把分子当成关于 $u=\cos x$ 的二次式。 它在整数范围内就能分解：

   $u^2-4u+3=(u-1)(u-3)\quad\Longrightarrow\quad \cos^2x-4\cos x+3=(\cos x-1)(\cos x-3)$

   在 $x=0$ 处变为零的，正是因式 $\cos x-1$。

3. 3

   把分母改写成含同一个因式的形式。 用同角三角函数关系，

   $\sin^2 x=1-\cos^2 x=(1-\cos x)(1+\cos x)$

   现在分子和分母都含有 $1-\cos x$（至多差一个符号）——正因如此，这里的约分是精确的，而不只是渐近意义上的。

4. 4

   约分。 把 $\cos x-1$ 写成 $-(1-\cos x)$：

   $\frac{(\cos x-1)(\cos x-3)}{(1-\cos x)(1+\cos x)}=\frac{-(1-\cos x)(\cos x-3)}{(1-\cos x)(1+\cos x)}=\frac{3-\cos x}{1+\cos x}$

   它对 $0$ 附近所有 $x\neq 0$ 都成立，而求极限所需要的恰好就是这些点。

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   在化简后的式子里直接代入。 它现在在 $x=0$ 处是连续的：

   $\lim_{x\to 0}\frac{3-\cos x}{1+\cos x}=\frac{3-1}{1+1}=\frac{2}{2}=1$

6. 6

   数值确认。 取 $x=10^{-3}$ 时原式的商等于 $1.0000005$，取 $x=10^{-4}$ 时等于 $1.000000005$——都在向 $1$ 收敛。$\checkmark$