求下列各极限的值：x 趋于 1 时 25 的极限、x 趋于 10 时 3x² 的极限、x 趋于 3 时 2x⁴ − x² 的极限、x 趋于 1 时 (x³ + 2)⁶ 的极限，以及 x 趋于 3 时 |−15x + 4| 的极限。

Step-by-step solution

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   动手之前先看连续性。 直接代入法成立的条件，恰恰是函数在目标点连续。多项式处处连续，多项式的绝对值也处处连续，常数更是平凡连续 —— 所以这五个极限统统就是函数值，这里没有 $0/0$ 要处理。

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   第 1 个：常数函数。 $f(x) = 25$ 从不改变，所以 $x$ 怎么趋近 $1$ 都无所谓：

   $\lim_{x\to 1} 25 = 25$

   极限记号里出现 $x$，并不意味着函数里也含 $x$。

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   第 2、3 个：多项式。 代入后仔细算，别弄错指数：

   $\lim_{x\to 10} 3x^2 = 3(10)^2 = 3(100) = 300$

   $\lim_{x\to 3} (2x^4 - x^2) = 2(81) - 9 = 162 - 9 = 153$

   注意 $3(10)^2 = 300$，而不是 $(3\cdot 10)^2 = 900$ —— 系数并不参与平方。

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   第 4 个：多项式的乘方。 先算括号里面，再乘方：

   $\lim_{x\to 1} (x^3+2)^6 = (1+2)^6 = 3^6 = 729$

   这里用的是极限的复合运算法则，它成立是因为外层函数 $u^6$ 连续。

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   第 5 个：绝对值。 先算里面，再取绝对值：

   $\lim_{x\to 3} |-15x+4| = |-45+4| = |-41| = 41$

   结果是 $+41$：绝对值永远非负。绝对值函数有尖点，但尖点并不破坏连续性，所以直接代入依然合法 —— 何况这里的尖点在 $x = \tfrac{4}{15}$，离 $x = 3$ 远得很。

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   汇总并核对。 五个值依次是 $25$、$300$、$153$、$729$ 和 $41$。每一个都用符号计算工具复核过，而且都等于目标点处的普通函数值 —— 这正是连续性所保证的。