对 f(x) = 8 - 11x，求差商 (f(x + h) - f(x))/h（其中 h 不为 0）并化简。

Step-by-step solution

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   用代入法写出 $f(x+h)$，记得加括号。 把表达式里的每个 $x$ 都换成整个 $x+h$：

   $f(x+h) = 8 - 11(x+h) = 8 - 11x - 11h$

   写成 $8 - 11x + h$ —— 也就是只把 $-11$ 乘到第一项上 —— 是最常见的失误。

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   写出分子，注意这个减法。 减去 $f(x)$ 意味着减去它整个表达式，所以它的两项都要变号：

   $f(x+h) - f(x) = (8 - 11x - 11h) - (8 - 11x) = 8 - 11x - 11h - 8 + 11x$

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   把所有不含 $h$ 的项消掉。 $8$ 与 $-8$ 抵消，$-11x$ 与 $+11x$ 抵消：

   $f(x+h) - f(x) = -11h$

   $x$ 完全消失，这正是函数为一次函数的信号。

4. 4

   除以 $h$。 因为 $h \neq 0$，这个除法是合法的：

   $\frac{-11h}{h} = -11$

   结果里既没有 $h$ 也没有 $x$。

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   解读这个常数结果。 差商就是过 $(x, f(x))$ 与 $(x+h, f(x+h))$ 两点的割线斜率。对一条直线来说，任何割线就是这条直线本身，所以差商必然等于那个恒定的斜率 $-11$ —— 与 $f(x) = 8 - 11x$ 里 $x$ 的系数一致。再令 $h \to 0$，就得到 $f'(x) = -11$，与预期相符。

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   与二次函数作对比。 对 $f(x) = 2x^2 - 3x + 4$ 用同样的步骤会得到 $\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} = 4x + 2h - 3$，里面 $x$ 和 $h$ 都还在。对非线性函数来说，结果里残留一个 $h$ 是正常的；而这里 $h$ 的消失，恰恰说明 $8-11x$ 是一次函数。

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   数值验证。 取 $x = 2$、$h = 0.1$：$f(2.1) = 8 - 23.1 = -15.1$，$f(2) = 8 - 22 = -14$，所以差商为 $\dfrac{-15.1 + 14}{0.1} = \dfrac{-1.1}{0.1} = -11$ ✓，而且正如所说，与 $h$ 无关。