计算 1/(a+b) 乘以 θ 从 0 到 arctan(b/a) 的积分，其内层是 r² dr 从 0 到 a/cos θ 的积分。

Step-by-step solution

1. 1

   先看清积分区域。 外层上限 $r=\dfrac{a}{\cos\theta}$ 正是竖直直线 $x=a$ 的极坐标方程，而 $\theta$ 从 $0$ 变到 $\arctan(b/a)$。所以扫过的区域是以 $(0,0)$、$(a,0)$、$(a,b)$ 为顶点的直角三角形——知道这一点，那些积分限才不再是凭空冒出来的。

2. 2

   先算对 $r$ 的内层积分。

   $\int_{0}^{a/\cos\theta}r^{2}\,dr=\left[\frac{r^{3}}{3}\right]_{0}^{a/\cos\theta}=\frac{a^{3}}{3\cos^{3}\theta}=\frac{a^{3}}{3}\sec^{3}\theta$

   正是上限的三次方，把一个简单的幂函数问题变成了 sec³ 的问题。

3. 3

   回忆 sec³ 的原函数。 这是分部积分的标准结论：

   $\int\sec^{3}\theta\,d\theta=\frac{1}{2}\left(\sec\theta\tan\theta+\ln\left|\sec\theta+\tan\theta\right|\right)+C$

   它是整个计算里唯一没法靠简单换元完成的一环。

4. 4

   代上限求值。 记 $\theta_{0}=\arctan(b/a)$，由直角三角形关系得

   $\tan\theta_{0}=\frac{b}{a},\qquad\sec\theta_{0}=\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{a}$

   于是 $\sec\theta_{0}\tan\theta_{0}=\dfrac{b\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{a^{2}}$，$\sec\theta_{0}+\tan\theta_{0}=\dfrac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}+b}{a}$。而在 $\theta=0$ 处，$\sec\theta\tan\theta$ 与 $\ln|\sec\theta+\tan\theta|=\ln1$ 都为零。

5. 5

   拼出闭式表达。 把常数 $\dfrac{a^{3}}{3}\cdot\dfrac12\cdot\dfrac{1}{a+b}$ 合并：

   $\frac{a^{3}}{6(a+b)}\left(\frac{b\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{a^{2}}+\ln\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}+b}{a}\right)$

   或者把第一项乘开：

   $\frac{ab\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{6(a+b)}+\frac{a^{3}}{6(a+b)}\ln\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}+b}{a}$

6. 6

   取几组参数做数值验证。 用辛普森求积算 $\dfrac{a^{3}\sec^{3}\theta}{3(a+b)}$ 并与闭式对照：$(a,b)=(1,1)$ 时两边都是 $0.1912989291$；$(2,3)$ 时都是 $1.0397137797$；$(0.7,1.9)$ 时都是 $0.2105370143$ ✓——每组的吻合程度都优于 $10^{-8}$。