某立体的底面是第一象限中由 x 轴、y 轴、曲线 y = eˣ 以及直线 x = 3 围成的区域。垂直于 x 轴的每个横截面都是正方形。求这个立体的体积。

Step-by-step solution

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   一次只看底面的一条竖直切片。 用截面法求体积的题从来不需要整个立体长什么样，只需要知道一片切片有多大。固定一个介于 $0$ 与 $3$ 之间的 $x$，把底面竖着切一刀。底面的下边界是 $x$ 轴（$y=0$），上边界是曲线 $y=e^{x}$，所以这条切片的长度是

   $L(x)=e^{x}-0=e^{x}.$

   而 $y$ 轴和直线 $x=3$ 只是告诉我们从哪切到哪：$0\le x\le 3$。

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   把切片长度变成横截面面积。 立在这条切片上的横截面是一个正方形，而这条切片正好是它完整的一条边。所以边长 $s=e^{x}$，横截面的面积是

   $A(x)=s^{2}=\left(e^{x}\right)^{2}=e^{2x}.$

   正是 $(e^{x})^{2}=e^{2x}$ 这条法则让积分变得简单，所以平方要在积分之前做，而不是之后。

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   列出体积积分。 把面积为 $A(x)$、厚度为 $dx$ 的薄片从 $x=0$ 一直叠到 $x=3$，得

   $V=\int_{0}^{3}A(x)\,dx=\int_{0}^{3}e^{2x}\,dx.$

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   求积分。 令 $u=2x$ 换元（或者直接认出这个形式），有 $\int e^{2x}\,dx=\tfrac12 e^{2x}$，因为对 $\tfrac12 e^{2x}$ 求导会把因子 $2$ 补回来：

   $V=\left[\frac{1}{2}e^{2x}\right]_{0}^{3}=\frac{1}{2}e^{6}-\frac{1}{2}e^{0}.$

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   算出结果并做合理性核验。 因为 $e^{0}=1$，

   $V=\frac{e^{6}-1}{2}\approx 201.214.$

   顺手估一估：最大的横截面（在 $x=3$ 处）面积是 $e^{6}\approx 403.4$，最小的（在 $x=0$ 处）面积是 $1$，所以在长度为 $3$ 的范围上得到约 $201$ 的体积，量级是对的——面积涨得太快，几乎全部体积都堆在 $x=3$ 附近。对 $e^{2x}$ 在 $[0,3]$ 上做数值积分得到 $201.21440$，与精确值一致。