计算 y 从 0 到 √3/2、x 从 1 − √(1 − y²) 到 √(1 − y²) 的累次积分，被积函数为 x + xy。

Step-by-step solution

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   动手之前先把积分区域看明白。 外侧的上限 $x=\sqrt{1-y^2}$ 是以原点为圆心的单位圆的右半部分；内侧的下限 $x=1-\sqrt{1-y^2}$ 则是以 $(1,0)$ 为圆心的单位圆的左半弧。所以区域是夹在两段圆弧之间的横向条带，从 $y=0$ 到 $y=\tfrac{\sqrt3}{2}$。

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   把被积函数因式分解，把与 x 无关的部分提出去。 $x+xy = x(1+y)$，而 $1+y$ 里不含 $x$： $I = \int_0^{\sqrt3/2}(1+y)\left(\int_{1-\sqrt{1-y^2}}^{\sqrt{1-y^2}} x\,dx\right)dy.$

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   内层积分用平方差一步到位。 记 $a=\sqrt{1-y^2}$， $\int_{1-a}^{a} x\,dx = \frac{a^2-(1-a)^2}{2} = \frac{2a-1}{2} = a-\frac12 = \sqrt{1-y^2}-\frac12.$ 把 $(1-a)^2$ 展开后 $a^2$ 恰好抵消，式子才塌缩得这么干净。

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   把剩下的单重积分拆成三块。 $I = \underbrace{\int_0^{\sqrt3/2}\sqrt{1-y^2}\,dy}_{A_1} + \underbrace{\int_0^{\sqrt3/2} y\sqrt{1-y^2}\,dy}_{A_2} - \underbrace{\frac12\int_0^{\sqrt3/2}(1+y)\,dy}_{B}.$

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   逐块算出来。 $A_1$ 用标准原函数 $\tfrac12\left(y\sqrt{1-y^2}+\arcsin y\right)$，由 $\arcsin\tfrac{\sqrt3}{2}=\tfrac{\pi}{3}$ 得 $\tfrac{\sqrt3}{8}+\tfrac{\pi}{6}$。$A_2$ 用换元 $u=1-y^2$：$-\tfrac13(1-y^2)^{3/2}$ 从 $0$ 到 $\tfrac{\sqrt3}{2}$ 取值，得 $\tfrac13-\tfrac{1}{24}=\tfrac{7}{24}$。而 $B = \tfrac12\left(\tfrac{\sqrt3}{2}+\tfrac38\right) = \tfrac{\sqrt3}{4}+\tfrac{3}{16}$。

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   合并同类项。 含 $\sqrt3$ 的部分给出 $\tfrac{\sqrt3}{8}-\tfrac{\sqrt3}{4} = -\tfrac{\sqrt3}{8}$，有理数部分给出 $\tfrac{7}{24}-\tfrac{3}{16} = \tfrac{14-9}{48} = \tfrac{5}{48}$。于是 $I = \frac{\pi}{6}-\frac{\sqrt3}{8}+\frac{5}{48} \approx 0.411259.$

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   用数值积分检验。 把内层结果 $(1+y)\left(\sqrt{1-y^2}-\tfrac12\right)$ 在 $[0,\tfrac{\sqrt3}{2}]$ 上做数值积分，得到 $0.4112590913$，与闭式结果在小数点后十位上一致。