用隐函数求导法求 x³ + x²y + y³ = 7 的 dy/dx。

Step-by-step solution

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   先想清楚为什么要用隐函数求导。 这个关系式没法干净地解出 $y$，所以改为把 $y$ 当作未知函数 $y(x)$，对等式两边同时关于 $x$ 求导。这样每出现一次 $y$，链式法则就会带出一个因子 $\frac{dy}{dx}$。

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   混合项要用乘积法则。 项 $x^{2}y$ 是两个 $x$ 的函数之积，所以 $\frac{d}{dx}\left(x^{2}y\right)=x^{2}\frac{dy}{dx}+2xy .$ 这道题里最常见的错误，就是把 $2xy$ 这一半漏掉。

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   再对其余各项求导。 纯幂项给出 $\frac{d}{dx}(x^{3})=3x^{2}$；链式法则给出 $\frac{d}{dx}(y^{3})=3y^{2}\frac{dy}{dx}$；常数给出 $\frac{d}{dx}(7)=0$。合起来就是 $3x^{2}+x^{2}\frac{dy}{dx}+2xy+3y^{2}\frac{dy}{dx}=0 .$

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   把含 dy/dx 的项归到一边。 提取公因子后 $\left(x^{2}+3y^{2}\right)\frac{dy}{dx}=-3x^{2}-2xy .$

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   解出结果，并指出公式在哪里失效。 两边相除得 $\frac{dy}{dx}=-\frac{3x^{2}+2xy}{x^{2}+3y^{2}} .$ 只要 $x^{2}+3y^{2}\ne 0$ 它就成立，也就是除原点以外处处成立；而原点并不在曲线上，因为 $0\ne 7$，所以这个公式在曲线的每一点都有效。