求 tanh(10⁻¹³x)/x 的麦克劳林级数，展开到 10 次项（含）。

Step-by-step solution

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   从 $\tanh z$ 的标准展开出发。 双曲正切是奇函数，所以它的麦克劳林级数只含奇次幂：

   $\tanh z=z-\frac{z^{3}}{3}+\frac{2z^{5}}{15}-\frac{17z^{7}}{315}+\frac{62z^{9}}{2835}-\frac{1382z^{11}}{155925}+\cdots$

   这些系数来自 $\tanh z=\sum_{n\ge1}\frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}z^{2n-1}$，不过要答到 $10$ 次，上面列出的六项就够了。

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   代入之前先想清楚要展开到几次。 除以 $x$ 会让每一项的次数降一次，于是奇次幂 $z^{2k+1}$ 变成偶次幂 $x^{2k}$。因此最终答案要到 $10$ 次，$\tanh z$ 就得展开到 $z^{11}$——比乍看之下所需的多一项。这一步最容易被砍短。

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   代入 $z=10^{-13}x$。 每个 $z^{m}$ 都带来一个因子 $10^{-13m}$：

   $\tanh(10^{-13}x)=10^{-13}x-\frac{10^{-39}}{3}x^{3}+\frac{2\cdot 10^{-65}}{15}x^{5}-\frac{17\cdot 10^{-91}}{315}x^{7}+\frac{62\cdot 10^{-117}}{2835}x^{9}-\frac{1382\cdot 10^{-143}}{155925}x^{11}+\cdots$

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   逐项除以 $x$。 每个指数都降一次，奇次幂全部变成偶次幂：

   $\frac{\tanh(10^{-13}x)}{x}=10^{-13}-\frac{10^{-39}}{3}x^{2}+\frac{2\cdot 10^{-65}}{15}x^{4}-\frac{17\cdot 10^{-91}}{315}x^{6}+\frac{62\cdot 10^{-117}}{2835}x^{8}-\frac{1382\cdot 10^{-143}}{155925}x^{10}+\cdots$

   这个级数完全没有奇次项，而 $x=0$ 处的可去间断点正好由常数项 $10^{-13}$ 补上。

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   读一读那个极小的参数带来了什么。 相邻两项之比大约是 $10^{-26}x^{2}$，所以除非 $|x|$ 达到 $10^{13}$ 的量级，这个函数在数值上与常数 $10^{-13}$ 无法区分。这正是这次展开的实际含义：级数在 $|10^{-13}x|<\pi/2$ 即 $|x|<1.5708\times 10^{13}$ 时收敛，而这恰好是 $\tanh$ 最近的奇点 $z=i\pi/2$ 所在的位置。