计算 25x^(3/2) 关于 x 的不定积分。

Step-by-step solution

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   先把常数提出来。 常数可以原封不动地穿过积分号：$\int 25x^{3/2}\,dx=25\int x^{3/2}\,dx.$

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   取 $n=\tfrac32$ 使用幂法则。 法则 $\displaystyle\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ 对任何 $n\ne-1$ 都成立，分数指数也不例外。这里 $n+1=\frac32+1=\frac52.$

3. 3

   除以新的指数。 $25\int x^{3/2}\,dx=25\cdot\frac{x^{5/2}}{\tfrac52}+C.$ 除以 $\tfrac52$ 等同于乘以 $\tfrac25$，学生最常在这一步上翻车。

4. 4

   把常数乘开。 $25\cdot\tfrac25=10$，所以原函数是 $10x^{5/2}+C$。

5. 5

   求导检验。 $\dfrac{d}{dx}\left(10x^{5/2}\right)=10\cdot\tfrac52 x^{3/2}=25x^{3/2}$，正是原来的被积函数。