求 ln(x) · arctan(x) 关于 x 的不定积分。

Step-by-step solution

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   先决定把哪一个因子拿去求导。 $\ln x$ 和 $\tan^{-1}x$ 的导数都很简单，但原函数都不好看。取 $u=\ln x$（于是 $du=\frac{dx}{x}$）、$dv=\tan^{-1}(x)\,dx$ 更好，因为随之而来的 $\frac{1}{x}$ 会与 $v$ 里的 $x$ 相消——这样选，剩下的积分才会变简单而不是变难。

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   先做一次分部积分求出 $v=\int\tan^{-1}x\,dx$。 取 $a=\tan^{-1}x$、$db=dx$：

   $\int\tan^{-1}x\,dx=x\tan^{-1}x-\int\frac{x}{1+x^{2}}dx=x\tan^{-1}x-\tfrac12\ln(1+x^{2}).$

   最后那个积分是令 $u=1+x^{2}$ 的换元，$\tfrac12$ 就是这么来的。

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   做主体的分部积分。 取 $u=\ln x$、$v=x\tan^{-1}x-\tfrac12\ln(1+x^{2})$：

   $\int\ln x\,\tan^{-1}x\,dx=\ln x\left(x\tan^{-1}x-\tfrac12\ln(1+x^{2})\right)-\int\left(x\tan^{-1}x-\tfrac12\ln(1+x^{2})\right)\frac{dx}{x}.$

   把积分号内的各项都除以 $x$，得到

   $\int\ln x\,\tan^{-1}x\,dx=x\ln x\tan^{-1}x-\tfrac12\ln x\ln(1+x^{2})-\int\tan^{-1}x\,dx+\tfrac12\int\frac{\ln(1+x^{2})}{x}dx.$

   这正是第 1 步预告的那个相消：$x\tan^{-1}x\cdot\frac1x$ 塌成 $\tan^{-1}x$，而它的积分刚才已经算过了。

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   认出剩下的积分是二重对数。 那一块 $\int\frac{\ln(1+x^{2})}{x}dx$ 没有初等原函数。作代换 $t=-x^{2}$，再对照定义 $\operatorname{Li}_{2}(z)=-\int_{0}^{z}\frac{\ln(1-w)}{w}dw$，得到

   $\int\frac{\ln(1+x^{2})}{x}dx=-\tfrac12\operatorname{Li}_{2}(-x^{2})+C.$

   数值核对一下：在 $x=0.6$ 处对 $-\tfrac12\operatorname{Li}_{2}(-x^{2})$ 求导得 $0.5124745$，而 $\frac{\ln(1.36)}{0.6}=0.5124745$ ✓。

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   拼出闭式。 把第 2 步的 $\int\tan^{-1}x\,dx$ 和第 4 步的二重对数代进去：

   $\int\ln x\,\tan^{-1}x\,dx=x\ln x\tan^{-1}x-\tfrac12\ln x\ln(1+x^{2})-x\tan^{-1}x+\tfrac12\ln(1+x^{2})-\tfrac14\operatorname{Li}_{2}(-x^{2})+C.$

   所以答案确实有闭式，但前提是允许出现二重对数——任何初等函数的组合都写不出它。

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   用数值求导验证。 用中心差分算右端的导数：在 $x=0.5$ 处得 $-0.32137603$，而 $\ln(0.5)\tan^{-1}(0.5)=-0.32137603$ ✓；在 $x=0.7$ 处得 $-0.21783065$，对应值也是 $-0.21783065$ ✓。两个互不相干的点上都吻合到八位数字，足以确认每一项的系数。