计算 arctan(x) 除以 cosh(x) 在 0 到正无穷上关于 x 的积分。

Step-by-step solution

1. 1

   动手之前先确认积分收敛。 当 $x\to\infty$ 时 $\arctan x\to\tfrac{\pi}{2}$，而 $\operatorname{sech}x\sim 2e^{-x}$，所以被积函数按指数衰减。在 $0$ 附近它的行为像 $x$。因此这个积分是有限的——而且不超过 $\tfrac{\pi}{2}\int_0^{\infty}\operatorname{sech}x\,dx=\tfrac{\pi^2}{4}\approx2.467$。

2. 2

   把 $1/\cosh x$ 展成交错的指数级数。 当 $x>0$ 时，

   $\frac{1}{\cosh x}=\frac{2e^{-x}}{1+e^{-2x}}=2\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n e^{-(2n+1)x}$

   之所以行得通，是因为在整个范围上都有 $e^{-2x}<1$，几何级数在积分涉及的每一处都收敛。

3. 3

   逐项积分。 交换求和与积分的次序，得到

   $I=2\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\int_0^{\infty}e^{-(2n+1)x}\arctan x\,dx$

4. 4

   对每个拉普拉斯型的分量做分部积分。 取 $u=\arctan x$、$dv=e^{-ax}dx$，边界项在两端都为零，剩下

   $\int_0^{\infty}e^{-ax}\arctan x\,dx=\frac{1}{a}\int_0^{\infty}\frac{e^{-ax}}{1+x^{2}}\,dx$

   于是

   $I=2\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}\int_0^{\infty}\frac{e^{-(2n+1)x}}{1+x^{2}}\,dx$

5. 5

   承认它没有初等的封闭形式。 里面那个积分是余弦积分与正弦积分的某种组合，并不是初等函数，所以上面的级数就是老老实实的精确答案。要得到小数值，只能靠数值方法。

6. 6

   用两条独立的路径做数值计算。 在 $[0,80]$ 上分成七段做高斯-勒让德求积，得到

   $I\approx 1.0986875$

   把上面的级数求到 $400$ 项得到 $1.0986859$，前六位一致 ✓。两者都稳稳低于第 1 步给出的上界 $\pi^2/4=2.467$。（注意 $I$ 很接近但并不等于 $\ln 3=1.0986123$。）