设 f 在 (0, +∞) 上由 f(x) = (3 + √x) / (4√x) 定义。求当 x 趋于正无穷时 f(x) 的极限与 f(f(x)) 的极限。

Step-by-step solution

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   与其硬碰不定式，不如把分式拆开。 照原样看，$f(x)$ 是 $\frac{\infty}{\infty}$ 型。把分子的每一项分别除以分母，含糊之处立刻消失：

   $f(x)=\frac{3}{4\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}}{4\sqrt{x}}=\frac{3}{4\sqrt{x}}+\frac{1}{4}$

   这个改写对每个 $x>0$ 都合法，因为那里 $\sqrt{x}\neq 0$。

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   第一个极限一眼就能读出来。 当 $x\to+\infty$ 时 $\sqrt{x}\to+\infty$，所以 $\dfrac{3}{4\sqrt{x}}\to 0$，于是

   $\lim_{x\to+\infty}f(x)=0+\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$

   直线 $y=\tfrac14$ 是图像的水平渐近线，而且是从上方逼近的，因为 $\tfrac{3}{4\sqrt{x}}>0$ 恒成立。

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   不要把 $+\infty$ 代进外层函数。 对 $f(f(x))$ 来说，内层的值并不趋于无穷——它趋于 $\tfrac14$。正确的工具是极限的复合法则：若 $x\to+\infty$ 时 $f(x)\to L$，且 $f$ 在 $L$ 处连续，则

   $\lim_{x\to+\infty}f\bigl(f(x)\bigr)=f(L)$

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   检查这个法则确实适用。 这里 $L=\tfrac14$，它落在定义域 $\left]0,+\infty\right[$ 内，而 $f$ 在那里连续（它由 $\sqrt{x}$ 和一个分母 $4\sqrt{x}$ 在该区间上恒不为零的商构成）。此外对每个 $x>0$ 都有 $f(x)>\tfrac14>0$，所以内层的值确实始终落在外层 $f$ 的定义域内——复合在无穷远附近是良定义的。

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   在 $L=\tfrac14$ 处求外层函数的值。 因为 $\sqrt{1/4}=\tfrac12$：

   $f\!\left(\frac{1}{4}\right)=\frac{3+\frac{1}{2}}{4\cdot\frac{1}{2}}=\frac{\frac{7}{2}}{2}=\frac{7}{4}$

   $\boxed{\lim_{x\to+\infty}f(x)=\frac{1}{4},\qquad \lim_{x\to+\infty}f\bigl(f(x)\bigr)=\frac{7}{4}}$

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   数值确认。 取 $x=10^4$：$f(x)=0.2575$，$f(f(x))=1.72799$。取 $x=10^8$：$f(x)=0.250075$，$f(f(x))=1.749775$。这些值正朝着 $\tfrac14=0.25$ 与 $\tfrac74=1.75$ 靠拢，与连续性论证的预测完全一致。