求 2 除以 (1 减 x 的平方) 的不定积分。

Step-by-step solution

1. 1

   先把分母因式分解。 $1-x^2=(1-x)(1+x)$：两个互不相同的一次因式，正是部分分式能拆出两个简单常数的那种情形。注意写成 $(1-x)$ 而不是 $(x-1)$——保持题目原有的符号，后面能少出一个负号。

2. 2

   列出部分分式。 设

   $\frac{2}{(1-x)(1+x)}=\frac{A}{1-x}+\frac{B}{1+x}$

   去分母得

   $2=A(1+x)+B(1-x)=(A+B)+(A-B)x$

3. 3

   对比系数。 左边没有 $x$ 项，常数项是 $2$，所以

   $A-B=0,\qquad A+B=2\quad\Rightarrow\quad A=B=1$

   于是 $\dfrac{2}{1-x^2}=\dfrac{1}{1-x}+\dfrac{1}{1+x}$。

4. 4

   分别积分，注意内层函数的导数。

   $\int\frac{dx}{1-x}=-\ln|1-x|,\qquad \int\frac{dx}{1+x}=\ln|1+x|$

   第一个前面的负号来自链式法则：内层 $1-x$ 的导数是 $-1$。漏掉它是这个积分最主要的坑。

5. 5

   把两个对数合并。

   $\int\frac{2}{1-x^2}\,dx=\ln|1+x|-\ln|1-x|+C=\ln\left|\frac{1+x}{1-x}\right|+C$

   在区间 $|x|<1$ 上，它与 $2\operatorname{artanh}(x)+C$ 是同一个东西。

6. 6

   求导检验。

   $\frac{d}{dx}\left(\ln|1+x|-\ln|1-x|\right)=\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1-x}=\frac{(1-x)+(1+x)}{(1+x)(1-x)}=\frac{2}{1-x^2}$

   正好还原出原来的被积函数，答案无误。