计算 x² − 8y 在 x 从 −2 到 −1、y 从 0 到 1 的矩形区域上的二重积分。

Step-by-step solution

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   先认出这是最省事的情形。 $D$ 是矩形，所以两组积分限都是常数，积分次序可以随便挑。这里先对 $x$ 积：

   $\int_0^1 \int_{-2}^{-1} (x^2-8y)\,dx\,dy$

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   把 $y$ 当作常数，对 $x$ 求积分。

   $\int (x^2-8y)\,dx = \frac{x^3}{3}-8yx$

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   代入 $x$ 的上下限。 在 $x=-1$ 处得 $-\tfrac{1}{3}+8y$；在 $x=-2$ 处得 $-\tfrac{8}{3}+16y$。相减得

   $\left(-\tfrac{1}{3}+8y\right)-\left(-\tfrac{8}{3}+16y\right) = \tfrac{7}{3}-8y$

   负的 $x$ 值是最容易掉符号的地方——注意 $(-2)^3 = -8$，而不是 $8$。

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   再把结果对 $y$ 从 $0$ 积到 $1$。

   $\int_0^1\left(\tfrac{7}{3}-8y\right)dy = \left[\tfrac{7}{3}y-4y^2\right]_0^1 = \tfrac{7}{3}-4 = -\tfrac{5}{3}$