计算广义积分 ∫ x·e^(−x²) dx，积分区间从 x = 0 到无穷。

Step-by-step solution

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   先把广义积分写成极限。 无穷上限是靠一列常义积分的极限来定义的，正是这个定义让「是否收敛」这个问题有了意义：

   $\int_0^{\infty}x\,e^{-x^2}dx=\lim_{b\to\infty}\int_0^{b}x\,e^{-x^2}dx$

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   换元 $u=x^2$。 前面那个因子 $x$ 恰好就是换元所需要的 —— 这也正是 $x\,e^{-x^2}$ 能用初等函数积出来、而单独的 $e^{-x^2}$ 不能的原因：

   $u=x^2,\qquad du=2x\,dx,\qquad x\,dx=\frac{du}{2}$

   积分限也要跟着换：$x=0\Rightarrow u=0$，$x=b\Rightarrow u=b^2$。

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   对 $u$ 积分。

   $\int_0^{b}x\,e^{-x^2}dx=\frac12\int_0^{b^2}e^{-u}du=\frac12\left[-e^{-u}\right]_0^{b^2}=\frac12\left(1-e^{-b^2}\right)$

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   取极限。 当 $b\to\infty$ 时 $b^2\to\infty$，于是 $e^{-b^2}\to 0$：

   $\int_0^{\infty}x\,e^{-x^2}dx=\lim_{b\to\infty}\frac12\left(1-e^{-b^2}\right)=\frac12$

   积分收敛，而且衰减快得惊人：取 $b=3$，剩下的尾巴只贡献 $\tfrac12 e^{-9}\approx 6\times 10^{-5}$。

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   拿一个相关结果对照着看。 因为被积函数是奇函数，同一个原函数给出 $\int_{-\infty}^{\infty}x\,e^{-x^2}dx=0$；而它那位偶函数同伴 $\int_0^{\infty}e^{-x^2}dx=\tfrac{\sqrt\pi}{2}\approx 0.886$ 却压根没有初等原函数。两相对照就能看出，仅仅多一个因子 $x$ 就把问题彻底改变了：有它，答案是精确的 $\tfrac12$；没有它，就得动用高斯积分那套技巧。