对表达式 a*x + b，求它对 a 的偏导数和对 b 的偏导数。

Step-by-step solution

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   先确定哪些符号被冻住。 偏导数是只对一个变量求导，把其余每一个符号都当作常数。这里表达式里有三个符号 $a$、$b$ 和 $x$，所以「谁是变量」每一问都不一样——而 $x$ 在本题两问里都是常数。

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   对 $a$ 求导。 把 $x$ 和 $b$ 当常数，$ax$ 就是 $a$ 的常数倍，$b$ 是纯常数：

   $\frac{\partial}{\partial a}(ax)=x,\qquad \frac{\partial}{\partial a}(b)=0,$

   $\frac{\partial f}{\partial a}=x.$

   答案是 $x$，不是 $1$ 也不是 $ax$：$ax$ 对 $a$ 求导，留下的是 $a$ 的系数，也就是 $x$。

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   对 $b$ 求导。 现在 $a$ 和 $x$ 都被冻住，所以整个乘积 $ax$ 是常数：

   $\frac{\partial}{\partial b}(ax)=0,\qquad \frac{\partial}{\partial b}(b)=1,$

   $\frac{\partial f}{\partial b}=1.$

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   和对 $x$ 的导数对比一下。 补充一句，$\frac{\partial f}{\partial x}=a$ ——同一个表达式，看谁是变量，能给出三个不同的答案。把这三个放在一起比较，是最快理解「其余保持不变」到底做了什么的方式。

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   理解结果的含义。 在用直线模型 $y=ax+b$ 拟合数据时，这两个偏导数正是最小二乘法所用梯度的两个分量：斜率 $a$ 变动一点点，预测值就跟着变动 $x$ 倍那么多；而截距 $b$ 变动时，每个预测值都同幅变动，变 $1$ 就是 $1$。这也解释了为什么离原点越远的数据点，对斜率估计的影响越大。