求下列各函数的导数：y = 1/√x，y = x/2 − 2/x，y = x(√x − x)，y = (3x − 2)(3x + 2)。

Step-by-step solution

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   先看看这四个式子的共同点。 按原样写出来，它们都不是单纯的幂的和 —— 里面有根式、分式和乘积。幂函数求导法则 $\dfrac{d}{dx}x^{n}=nx^{n-1}$ 只对幂适用，所以每一个都得先改写一遍。这样做几乎总比直接搬商的法则或乘积法则来得快。

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   (1) 把根式写成负分数指数幂。

   $y=\frac{1}{\sqrt{x}}=x^{-1/2}\ \Longrightarrow\ y'=-\tfrac12 x^{-3/2}=-\frac{1}{2x^{3/2}}=-\frac{1}{2x\sqrt{x}}.$

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   (2) 把分式拆成两个简单的项。

   $y=\tfrac12 x-2x^{-1}\ \Longrightarrow\ y'=\tfrac12-2(-1)x^{-2}=\frac{1}{2}+\frac{2}{x^{2}}.$

   第二项的符号翻转是最常见的坑：$-2x^{-1}$ 求导得到的是 $+2x^{-2}$。

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   (3) 求导之前先把乘积展开。

   $y=x\left(x^{1/2}-x\right)=x^{3/2}-x^{2}\ \Longrightarrow\ y'=\tfrac32 x^{1/2}-2x=\frac{3\sqrt{x}}{2}-2x.$

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   (4) 把这对共轭因式乘开。 它是平方差，中间两项互相抵消：

   $y=(3x)^{2}-2^{2}=9x^{2}-4\ \Longrightarrow\ y'=18x.$

   常数 $-4$ 求导后是 $0$。

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   把四个答案汇总起来。

   $y'=-\frac{1}{2x^{3/2}},\qquad y'=\frac{1}{2}+\frac{2}{x^{2}},\qquad y'=\frac{3\sqrt{x}}{2}-2x,\qquad y'=18x.$

   其中 (1) 和 (3) 的定义域是 $x>0$，(2) 的定义域是 $x\neq 0$。每个结果都用未改写的原式做符号求导验证过。