求 y = 8x5 - 3x 的负四次方，加 4 除以 x，再减 9 的导数。

Step-by-step solution

1. 1

   把四项都化成 $cx^n$ 的形式。 只有第三项需要改写：

   $\frac4x=4x^{-1}$

   于是 $y=8x^5-3x^{-4}+4x^{-1}-9$。事先做好这一步转换，整个函数就只需要一条法则来处理。

2. 2

   对首项求导。

   $\frac{d}{dx}\left(8x^5\right)=8\cdot 5x^4=40x^4$

   指数 $5$ 变成因数，同时降为 $4$。

3. 3

   对 $-3x^{-4}$ 求导。

   $\frac{d}{dx}\left(-3x^{-4}\right)=-3\cdot(-4)x^{-4-1}=12x^{-5}$

   $-4$ 减去 $1$ 得到 $-5$：指数变得更负，而这一步正是最常被反向搞错的地方。

4. 4

   对 $4x^{-1}$ 求导，并注意常数项消失。

   $\frac{d}{dx}\left(4x^{-1}\right)=-4x^{-2},\qquad \frac{d}{dx}(-9)=0$

   任何常数的导数都是零，因为水平直线的斜率就是零。

5. 5

   把答案用正指数写出来。

   $\frac{dy}{dx}=40x^4+\frac{12}{x^5}-\frac{4}{x^2}$

6. 6

   在 $x=1$ 处检验，并说明定义域。 公式给出 $40+12-4=48$，与原函数在 $x=1$ 处的数值差商一致。$y$ 与 $y'$ 在 $x=0$ 处都没有定义，所以结论对 $x\neq 0$ 成立。