解微分方程 dy/dx − y² = 0。

Step-by-step solution

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   先整理成标准的可分离形式。 把 $y^2$ 移到右边得

   $\frac{dy}{dx}=y^2$

   右端只依赖 $y$，所以方程能分离变量。另外注意常数解 $y=0$，它显然满足方程，后面要单独拿出来讨论。

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   分离变量。 设 $y\neq0$，两边除以 $y^2$：

   $\frac{dy}{y^2}=dx,\qquad\text{即}\qquad y^{-2}\,dy=dx$

3. 3

   两边按幂函数法则积分。 取 $n=-2$，由 $\int y^{n}dy=\frac{y^{n+1}}{n+1}$ 得 $\frac{y^{-1}}{-1}=-y^{-1}$ —— 这里不落到 $\ln$ 那种特例上，因为指数并不是 $-1$：

   $-\frac{1}{y}=x+C$

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   解出 y。 两边乘 $-1$，再给常数换个名字（$-C$ 和 $C$ 一样任意）：

   $\frac{1}{y}=-x-C=C'-x$

   取倒数，

   $y=\frac{1}{C-x}$

   这里把 $C'$ 重新记作 $C$。与线性情形 $y'=y$ 不同，这里取 $C=0$ 并不能还原出 $y=0$；那个零解是在第 2 步被除掉的、真正独立的奇解。

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   注意解在有限处发散。 解在 $x=C$ 处有一条垂直渐近线：当 $x\to C^-$ 时 $|y|\to\infty$。所以没有任何非零解能在整条实轴上存在 —— 这是二次增长的典型标志，线性方程绝不会有这种表现。

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   求导验证。 对 $y=\frac{1}{C-x}=(C-x)^{-1}$，链式法则给出 $y'=(C-x)^{-2}=y^2$ ✓。数值上取 $C=2$，在 $x=0,\,0.5,\,-1.3$ 处，对称差商与 $y^2$ 在五位数字上吻合 ✓。