求 β 从 0 到 π/2 上 √(1 + tan²(0.8)·sin²β) 的积分。

Step-by-step solution

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   认出标准形式。 第二类完全椭圆积分是

   $E(m)=\int_{0}^{\pi/2}\sqrt{1-m\sin^{2}\theta}\;d\theta$

   把 $\sqrt{1-m\sin^{2}\beta}$ 与 $\sqrt{1+\tan^{2}(0.8)\sin^{2}\beta}$ 对照，需要 $-m=\tan^{2}(0.8)$，即 $m=-\tan^{2}(0.8)$——一个负的参数。这完全合法，只不过说明被积函数大于 $1$，而不是小于 $1$。

2. 2

   算出这个参数。

   $\tan(0.8)\approx1.02963856,\qquad\tan^{2}(0.8)\approx1.06015556$

   于是 $m\approx-1.06015556$，$I=E\left(-1.06015556\right)$。注意这个积分没有初等的封闭表达式——正因为如此，它才有了自己的名字。

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   换成正参数（可选，但更清楚）。 把常数从根号里提出来，

   $\sqrt{1+k^{2}\sin^{2}\beta}=\sqrt{1+k^{2}}\,\sqrt{1-\frac{k^{2}}{1+k^{2}}\cos^{2}\beta}$

   其中 $k^{2}=\tan^{2}(0.8)$，于是 $I=\sqrt{1+k^{2}}\;E\!\left(\tfrac{k^{2}}{1+k^{2}}\right)$，此时 $\tfrac{k^{2}}{1+k^{2}}\approx0.51460$ 落在 $[0,1]$ 内，而 $\sqrt{1+k^{2}}\approx1.435324$。

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   先把答案的范围框出来，再动手算。 被积函数从 $\beta=0$ 处的 $1$ 一直增大到 $\beta=\tfrac\pi2$ 处的 $\sqrt{1+k^{2}}\approx1.4353$。乘上区间长度 $\tfrac\pi2\approx1.5708$，就把积分卡在了 $1.5708$ 与 $2.2546$ 之间——落到这个范围外的答案一眼就是错的。

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   做数值计算。 三种互相独立的方法——$4\times10^{6}$ 个节点的梯形公式、$200$ 个节点的高斯–勒让德求积，以及对上一步正参数形式再做高斯–勒让德求积——结果一致：

   $I\approx1.9280090$

   它稳稳落在上一步框出的范围内 ✓。这里还要当心一些出版物上的数值：一个很接近但错误的值 $1.92274$ 在小数点后第三位就不同了，这远超上述三种方法之间的一致程度。