求 x 趋于正无穷时 x² − 4 的极限。

Step-by-step solution

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   把两项放在一起比较。 随着 $x$ 增大，$x^2$ 无界增长，而 $-4$ 始终不变。任何和式里，次数最高的那一项最终都会占主导，所以极限完全由 $x^2$ 说了算。

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   先看主导项。 $x\to\infty$ 给出 $x^2\to+\infty$（一个很大的正数平方之后只会更大）。

3. 3

   再减掉那个常数。 从一个无界的量里拿走固定的 $4$，它依旧无界：

   $x^2-4\to+\infty$

   这个平移只是把图像往下挪了 $4$ 个单位，压不住它的增长。

4. 4

   做数值验证。 $x=10$ 时是 $96$；$x=100$ 时是 $9996$；$x=1000$ 时是 $999996$。$x$ 每扩大十倍，输出大约乘以 $100$。

5. 5

   如实解释这个答案。 我们写

   $\lim_{x\to\infty}(x^2-4)=+\infty$

   但 $+\infty$ 并不是一个数：准确的说法是这个极限不以有限值存在，而函数发散到 $+\infty$。另外还要注意，$\lim_{x\to-\infty}(x^2-4)=+\infty$ 同样成立，因为平方会把符号抹掉。