一个平面图形由圆 x² + y² − 7y = 0、x² + y² − 9y = 0 以及直线 y = x/√3、x = 0 围成。写出用极坐标表示它面积的积分，并求出面积。

Step-by-step solution

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   先把两个圆化成极坐标形式。 代入 $x=r\cos\varphi$、$y=r\sin\varphi$，$x^2+y^2$ 就变成 $r^2$，于是 $x^2+y^2-7y=0$ 化为 $r^2-7r\sin\varphi=0$，即 $r(r-7\sin\varphi)=0$。舍掉极点 $r=0$ 就得到 $r=7\sin\varphi$，对第二个圆做同样的处理得到 $r=9\sin\varphi$。两条都是过原点、圆心在 $y$ 轴上的圆，所以在这块区域里极径从小的那条跑到大的那条：

   $7\sin\varphi \le r \le 9\sin\varphi.$

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   再把两条直线化成角度。 过原点的直线在极坐标里就是一条射线 $\varphi=\text{常数}$。直线 $x=0$ 就是 $y$ 轴，对应 $\varphi=\tfrac{\pi}{2}$。对 $y=\tfrac{x}{\sqrt3}$ 代入极坐标形式：$r\sin\varphi=\tfrac{r\cos\varphi}{\sqrt3}$，得 $\tan\varphi=\tfrac{1}{\sqrt3}$，即 $\varphi=\tfrac{\pi}{6}$。所以极角扫过的范围是

   $\frac{\pi}{6}\le\varphi\le\frac{\pi}{2}.$

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   把面积积分组装起来。 极坐标下的面积元是 $dS=r\,dr\,d\varphi$ —— 多出来的因子 $r$ 是雅可比行列式，也是这里最容易漏掉的东西。配上刚才求出的上下限：

   $S=\int_{\pi/6}^{\pi/2}\int_{7\sin\varphi}^{9\sin\varphi} r\,dr\,d\varphi.$

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   先对 $r$ 做内层积分。 被积函数就是 $r$，内层积分是一个平方差，所以 $\sin^2\varphi$ 能干净地提出来：

   $\int_{7\sin\varphi}^{9\sin\varphi} r\,dr=\frac{(9\sin\varphi)^2-(7\sin\varphi)^2}{2}=\frac{81-49}{2}\sin^2\varphi=16\sin^2\varphi.$

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   再对 $\varphi$ 积分，用降幂公式。 $\sin^2\varphi$ 一眼看不出原函数，所以改写成 $\sin^2\varphi=\tfrac{1-\cos 2\varphi}{2}$：

   $S=\int_{\pi/6}^{\pi/2}16\sin^2\varphi\,d\varphi=8\int_{\pi/6}^{\pi/2}(1-\cos 2\varphi)\,d\varphi=8\left[\varphi-\frac{\sin 2\varphi}{2}\right]_{\pi/6}^{\pi/2}.$

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   代入上下限。 在 $\varphi=\tfrac{\pi}{2}$ 处：$\tfrac{\pi}{2}-\tfrac{\sin\pi}{2}=\tfrac{\pi}{2}$。在 $\varphi=\tfrac{\pi}{6}$ 处：$\tfrac{\pi}{6}-\tfrac{1}{2}\sin\tfrac{\pi}{3}=\tfrac{\pi}{6}-\tfrac{\sqrt3}{4}$。两者相减再乘以 $8$：

   $S=8\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{6}+\frac{\sqrt3}{4}\right)=8\cdot\frac{\pi}{3}+2\sqrt3=\frac{8\pi}{3}+2\sqrt3\approx 11.84.$

   对同一个积分做数值计算得到 $11.8417$，说明这个闭式结果是对的。