分析曲线 y = −2x²eˣ：求它的截距、极值点，以及 x 趋于 +∞ 和 −∞ 时的走势。

Step-by-step solution

1. 1

   先把整个函数的符号定下来。 对任意实数 $x$ 都有 $x^2\ge0$ 且 $e^x>0$，所以

   $-2x^2e^x\le0$

   于是整条曲线完全落在 $x$ 轴上或下方，只有在 $x^2=0$ 的地方才碰到轴。在求导之前先弄清这一点，等于一下子排掉了一半的草图可能。

2. 2

   求截距。 令 $y=0$：因为 $e^x$ 永不为零，只能有 $x^2=0$，即 $x=0$。所以横截距和纵截距是同一个点 $(0,0)$。

3. 3

   用乘积法则求导。 取 $u=-2x^2$、$v=e^x$：

   $y'=-4xe^x+\left(-2x^2\right)e^x=-2e^x\left(x^2+2x\right)=-2e^xx(x+2)$

   把 $-2e^x$ 提出来，驻点一眼就能读出来。

4. 4

   找出驻点。 因为 $e^x\neq0$，$y'=0$ 就要求 $x(x+2)=0$：

   $x=0\qquad\text{或}\qquad x=-2$

   当 $x=0$ 时 $y=0$。当 $x=-2$ 时：

   $y=-2(-2)^2e^{-2}=-8e^{-2}=-\frac{8}{e^2}\approx-1.083$

5. 5

   由 y' 的符号判定它们的类型。 因子 $-2e^x$ 恒为负，所以 $y'$ 的符号与 $x(x+2)$ 相反：$x<-2$ 时为负，$-2<x<0$ 时为正，$x>0$ 时又为负。也就是说曲线先降、再升、又降——于是在 $\left(-2,-\tfrac{8}{e^2}\right)$ 处取得极小值，在 $(0,0)$ 处取得极大值。这个极大值 $0$ 同时也是全局最大值，与第 1 步的结论一致。

6. 6

   判断两端的走势。 当 $x\to-\infty$ 时，$e^x\to0$ 的速度远远快过 $x^2\to\infty$ 的增长速度，所以 $y\to0^-$：$x$ 轴是一条水平渐近线，而且是从下方趋近的。当 $x\to+\infty$ 时两个因子都在变大，$y\to-\infty$，急剧下坠。整体形状就是：最左端紧贴着轴的下方，到 $x=-2$ 处下探到 $-1.083$，再回升到原点碰一下轴，随后一路无界地掉下去。

7. 7

   核对关键数值。 用步长 $10^{-7}$ 的对称差商，在 $x=-3,-1,0.5,2$ 处与 $y'=-2e^xx(x+2)$ 完全吻合 ✓。几个取值：$y(-4)=-0.586$、$y(-3)=-0.896$、$y(-2)=-1.083$、$y(-1)=-0.736$、$y(1)=-5.437$、$y(2)=-59.112$——全部重算过，既印证了 $x=-2$ 处的下探，也印证了右侧的陡降 ✓。