计算 x²e⁻ˣ 从 x = 0 到 x = 1 的定积分。

Step-by-step solution

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   选好分部的方式，让多项式的次数降下去。 被积函数是多项式乘指数函数，正是分部积分的经典场景。取 $u = x^2$（求导会一路降到零）与 $dv = e^{-x}dx$（积分之后不会变大），于是 $du = 2x\,dx$、$v = -e^{-x}$。

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   先做一次分部积分。

   $\int x^2 e^{-x}dx = -x^2 e^{-x} + \int 2x e^{-x}dx$

   剩下的积分次数从 $2$ 降成了 $1$——离能直接算出来的形式又近了一步。

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   再做第二次。 取 $u = 2x$、$dv = e^{-x}dx$：

   $\int 2x e^{-x}dx = -2x e^{-x} + \int 2e^{-x}dx = -2x e^{-x} - 2e^{-x}$

   合起来，原函数就是

   $\int x^2 e^{-x}dx = -\left(x^2 + 2x + 2\right)e^{-x} + C$

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   代入上下限。 在 $x = 1$ 处：$-(1 + 2 + 2)e^{-1} = -5e^{-1}$；在 $x = 0$ 处：$-(0 + 0 + 2)e^{0} = -2$。两者相减得

   $\int_0^1 x^2 e^{-x}dx = -\frac{5}{e} - (-2) = 2 - \frac{5}{e}$

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   确认结果是否合理。 取 $e \approx 2.718282$，则 $\tfrac{5}{e} \approx 1.839397$，所以积分值 $\approx 0.160603$。在 $[0,1]$ 上用复合辛普森公式近似得 $0.1606028$，前七位小数完全吻合。这个值也稳稳小于粗略的上界 $\int_0^1 x^2 dx = \tfrac13$——区间上 $e^{-x} < 1$，本来就该如此。