求 x³ + 2x² − 5x 的导数。

Step-by-step solution

1. 1

   逐项求导。 求导具有线性，所以和式可以一项一项地处理，任何常数系数都直接跟着走：

   $\frac{d}{dx}\bigl(u + v\bigr) = \frac{du}{dx} + \frac{dv}{dx}, \qquad \frac{d}{dx}\bigl(cu\bigr) = c\,\frac{du}{dx}$

2. 2

   对三次项套用幂函数求导法则。 法则是

   $\frac{d}{dx}x^n = n x^{n-1}$

   于是

   $\frac{d}{dx}x^3 = 3x^2$

   指数搬到前面并减一 —— 它不会仍旧停在 $3$。

3. 3

   处理带系数的二次项。

   $\frac{d}{dx}\left(2x^2\right) = 2 \cdot 2x = 4x$

   前面的 $2$ 不参与幂函数法则；被求导的只有 $x^2$，得到 $2x$，两个系数相乘就是 $4$。

4. 4

   处理一次项。 取 $n = 1$，幂函数法则给出 $\frac{d}{dx}x = 1$，所以

   $\frac{d}{dx}(-5x) = -5$

   一次项求导后总是等于它自己的系数 —— 而如果式子里还有常数项，它求导后会变成 $0$。

5. 5

   拼起来并验证。 把三部分相加：

   $f'(x) = 3x^2 + 4x - 5$

   在 $x = 2.5$ 处用中心差商做数值检验：当 $h$ 很小时 $\frac{f(2.5 + h) - f(2.5 - h)}{2h} \approx 23.75$，而 $3(2.5)^2 + 4(2.5) - 5 = 18.75 + 10 - 5 = 23.75$。附带一提，$f'(x) = 0$ 在有理数范围内无法分解——用求根公式得 $x = \frac{-2 \pm \sqrt{19}}{3}$，所以这条三次曲线的驻点在 $x \approx 0.786$ 和 $x \approx -2.120$。