计算 θ 从 0 到 x、r 从 0 到 1/2 的累次积分，被积函数是 (r³ sinθ cosθ + (1/3) r² sinθ) 的绝对值。

Step-by-step solution

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   先把绝对值里面的式子分解因式。 $r^3\sin\theta\cos\theta+\frac13r^2\sin\theta = r^2\sin\theta\left(r\cos\theta+\frac13\right).$ 先分解，才能不必对 $r$ 分情况讨论就把符号定下来。

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   判断它在定义域上的符号。 $r^2\ge0$ 恒成立。当 $0\le\theta\le x\le\tfrac{\pi}{2}$ 时 $\sin\theta\ge0$、$\cos\theta\ge0$，于是 $r\cos\theta+\tfrac13\ge\tfrac13>0$。每个因子都非负，绝对值可以直接摘掉。（若 $x>\tfrac{\pi}{2}$，一旦 $r\cos\theta<-\tfrac13$ 括号就可能变负，那时就得分情况讨论了。）

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   先对 r 积分，把 theta 当成常数。 $\int_0^{1/2}r^3\,dr = \frac{1}{64},\qquad \int_0^{1/2}r^2\,dr = \frac{1}{24},$ 所以内层积分是 $\frac{\sin\theta\cos\theta}{64}+\frac{\sin\theta}{72},$ 这里用到了 $\tfrac13\cdot\tfrac1{24} = \tfrac1{72}$。

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   再把第一部分对 theta 积分。 令 $u=\sin\theta$，$\int_0^x\sin\theta\cos\theta\,d\theta = \frac{\sin^2x}{2},$ 所以这一部分贡献 $\dfrac{\sin^2x}{128}$。

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   接着积第二部分。 $\int_0^x\sin\theta\,d\theta = 1-\cos x,$ 贡献 $\dfrac{1-\cos x}{72}$。

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   合并并检验。 $\int_0^x\!\!\int_0^{1/2}\left|\cdots\right|dr\,d\theta = \frac{\sin^2x}{128}+\frac{1-\cos x}{72}.$ 取 $x=1.1$，闭式给出 $0.0137940252$，而对原来带绝对值的被积函数做嵌套数值求积返回 $0.0137940252$——小数点后十位完全一致。取 $x=0$ 时两边都是 $0$，也正如它们应该的那样。