解微分方程 y'' + 2y' + y = e^(-x)。

Step-by-step solution

1. 1

   先求特征根。 对齐次方程 $y'' + 2y' + y = 0$，特征方程是

   $r^2 + 2r + 1 = (r+1)^2 = 0$

   它有一个重根 $r = -1$。二重根同时贡献 $e^{-x}$ 和 $xe^{-x}$，所以

   $y_h = (C_1 + C_2x)e^{-x}$

2. 2

   判断共振有多深。 右端项 $e^{-x}$ 与根 $-1$ 相匹配，而这个根的重数是 $2$。规则是：把试解乘上 $x^{m}$，其中 $m$ 是重数。这里 $m = 2$，所以 $Ae^{-x}$ 和 $Axe^{-x}$ 代进去都会变成零 —— 只有 $y_p = Ax^2e^{-x}$ 才能存活下来。

3. 3

   把试解求两次导。

   $y_p' = A e^{-x}\left(2x - x^2\right), \qquad y_p'' = A e^{-x}\left(x^2 - 4x + 2\right)$

4. 4

   代入并解出 A。

   $y_p'' + 2y_p' + y_p = Ae^{-x}\left[(x^2 - 4x + 2) + (4x - 2x^2) + x^2\right] = 2Ae^{-x}$

   $x^2$ 项互相抵消（$1 - 2 + 1 = 0$），$x$ 项也互相抵消（$-4 + 4 = 0$），只剩下常数 $2$。令 $2Ae^{-x} = e^{-x}$ 便得 $A = \tfrac12$。

5. 5

   写出通解并检验。

   $y = e^{-x}\left(C_1 + C_2x + \tfrac{1}{2}x^2\right)$

   用 $y_p = \tfrac12x^2e^{-x}$ 验证：$y_p' = \left(x - \tfrac{x^2}{2}\right)e^{-x}$，$y_p'' = \left(1 - 2x + \tfrac{x^2}{2}\right)e^{-x}$，于是左边是 $e^{-x}\left[\left(1 - 2x + \tfrac{x^2}{2}\right) + \left(2x - x^2\right) + \tfrac{x^2}{2}\right] = e^{-x}$。正确。