计算从 0 到 π 的定积分 ∫ x(sin 2x − sin x) dx。

Step-by-step solution

1. 1

   先按线性性拆开。 拆出来的每一块都是多项式乘三角函数，这正是分部积分的标准形状：

   $\int_{0}^{\pi}x\sin2x\,dx-\int_{0}^{\pi}x\sin x\,dx$

   两个积分都取 $u=x$（求导之后就变成 $1$），把正弦那部分取作 $dv$。

2. 2

   第一个积分：$\displaystyle\int x\sin2x\,dx$。 取 $u=x$、$dv=\sin2x\,dx$，于是 $du=dx$、$v=-\tfrac12\cos2x$：

   $\int x\sin2x\,dx=-\frac{x}{2}\cos2x+\frac12\int\cos2x\,dx=-\frac{x}{2}\cos2x+\frac14\sin2x$

   里面那几个 $\tfrac12$ 来自对 $2x$ 用链式法则，也是这里最容易丢掉的东西。

3. 3

   在 $[0,\pi]$ 上把第一个积分算出来。 $x=\pi$ 时：$\cos2\pi=1$、$\sin2\pi=0$，得 $-\tfrac{\pi}{2}$。$x=0$ 时两项都为零。所以

   $\int_{0}^{\pi}x\sin2x\,dx=-\frac{\pi}{2}$

   辛普森数值积分给出 $-1.5707963$ ✓，与 $-\tfrac\pi2$ 吻合。

4. 4

   第二个积分：$\displaystyle\int x\sin x\,dx$。 取 $u=x$、$dv=\sin x\,dx$，于是 $v=-\cos x$：

   $\int x\sin x\,dx=-x\cos x+\int\cos x\,dx=-x\cos x+\sin x$

   $x=\pi$ 时：$-\pi(-1)+0=\pi$。$x=0$ 时为 $0$。所以 $\displaystyle\int_{0}^{\pi}x\sin x\,dx=\pi$，数值验证结果为 $3.1415927$ ✓。

5. 5

   相减收尾。

   $-\frac{\pi}{2}-\pi=-\frac{3\pi}{2}\approx-4.712389$

   对原被积函数直接做辛普森数值积分得到 $-4.71238898$ ✓，八位小数完全一致。

6. 6

   检查一下符号是否合理。 在 $(0,\pi)$ 上，$-x\sin x$ 这一项处处为负；而 $x\sin2x$ 在 $\left(0,\tfrac\pi2\right)$ 上贡献一个正的鼓包，在 $\left(\tfrac\pi2,\pi\right)$ 上贡献一个更大的负鼓包 —— 更大是因为那里的权重 $x$ 更大。两部分都把总值往负的方向拉，这与 $-\tfrac{3\pi}{2}$ 一致。