计算全空间 R³ 上的三重积分，被积函数是 exp(−α(x² + y² + z²)) 乘以 a·cos(xξ + yη + zζ) + b·sin(xξ + yη + zζ) + c(x² + y² + z²)。

Step-by-step solution

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   改用向量记号，并把积分拆成三部分。 记 $\mathbf{x} = (x,y,z)$、$\mathbf{k} = (\xi,\eta,\zeta)$、$r = \|\mathbf{x}\|$、$k = \|\mathbf{k}\|$。于是 $x\xi + y\eta + z\zeta = \mathbf{x}\cdot\mathbf{k}$，并且

   $I = aI_1 + bI_2 + cI_3$

   其中 $I_1 = \iiint e^{-\alpha r^2}\cos(\mathbf{x}\cdot\mathbf{k})\,d^3x$，$I_2$ 是把余弦换成正弦的同一个积分，$I_3 = \iiint e^{-\alpha r^2} r^2\,d^3x$。条件 $\alpha > 0$ 正是这三个积分都收敛的保证。

2. 2

   用奇偶性干掉正弦项。 在 $\mathbf{x} \mapsto -\mathbf{x}$ 之下高斯因子 $e^{-\alpha r^2}$ 不变，而 $\sin(\mathbf{x}\cdot\mathbf{k})$ 要变号，所以被积函数在关于原点对称的区域上是奇函数：

   $I_2 = 0$

   因此系数 $b$ 根本不会出现在答案里。

3. 3

   把余弦项当作傅里叶变换来算。 三维高斯函数的标准变换是

   $\iiint_{\mathbb{R}^3} e^{-\alpha r^2} e^{i\mathbf{x}\cdot\mathbf{k}}\,d^3x = \left(\frac{\pi}{\alpha}\right)^{3/2} e^{-k^2/(4\alpha)}$

   （配方之后，每个笛卡尔方向各贡献一个 $\sqrt{\pi/\alpha}\,e^{-k_i^2/4\alpha}$）。取实部——虚部恰好就是 $I_2 = 0$——得到

   $I_1 = \left(\frac{\pi}{\alpha}\right)^{3/2} e^{-k^2/(4\alpha)}$

4. 4

   在球坐标下算 r² 那一项。 被积函数只依赖 $r$，所以 $d^3x = 4\pi r^2\,dr$：

   $I_3 = 4\pi\int_0^{\infty} r^4 e^{-\alpha r^2}\,dr$

   换元 $u = \alpha r^2$ 就把它变成一个伽马积分：

   $\int_0^\infty r^4 e^{-\alpha r^2}dr = \frac{\Gamma(5/2)}{2\alpha^{5/2}} = \frac{3\sqrt{\pi}}{8\alpha^{5/2}}$

   这里用到 $\Gamma(5/2) = \tfrac{3}{4}\sqrt{\pi}$。于是 $I_3 = \dfrac{3\pi^{3/2}}{2\alpha^{5/2}}$。

5. 5

   把结果拼起来。

   $I = a\left(\frac{\pi}{\alpha}\right)^{3/2} e^{-(\xi^2+\eta^2+\zeta^2)/(4\alpha)} + \frac{3c\,\pi^{3/2}}{2\alpha^{5/2}}$

   注意这个结构：含 $a$ 的那部分随 $k$ 衰减（在频率空间里依然是高斯型），而含 $c$ 的那部分是与 $\mathbf{k}$ 无关的纯常数。

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   数值验证。 取 $\alpha = 0.7$、$\mathbf{k} = (0.3, -0.5, 1.1)$、$a = 1.3$、$b = 2.1$、$c = 0.9$，闭式结果为 $25.4420947$。在 $[-6,6]^3$ 上用 $90$ 点的高斯-勒让德网格作数值积分（高斯因子在此范围之外可以忽略）得到 $25.4420947$——八位数字完全一致，也印证了 $b = 2.1$ 那一项确实毫无贡献。