讨论 sin(x)·sin(y)/(x+y)ᵖ 在区域 x ≥ 0、y ≥ 0、x + y ≥ 1 上的二重积分的敛散性。

Step-by-step solution

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   先换元，让权重只依赖一个变量。 被积函数只通过分母感受到 $x+y$，所以令 $u=x+y$，$v=x$。于是 $y=u-v$，雅可比行列式等于 $1$。约束 $x\ge0$、$y\ge0$ 变成 $0\le v\le u$，而 $x+y\ge1$ 变成 $u\ge1$，因此 $I(p)=\int_1^\infty \frac{1}{u^p}\left(\int_0^u \sin v\,\sin(u-v)\,dv\right)du.$

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   用积化和差把内层积分算掉。 在 $\sin A\sin B=\tfrac12[\cos(A-B)-\cos(A+B)]$ 里取 $A=v$、$B=u-v$，得到 $\sin v\sin(u-v)=\tfrac12[\cos(2v-u)-\cos u]$。对 $v\in[0,u]$ 积分后，第一部分贡献 $\sin u$，第二部分贡献 $u\cos u$，于是 $\int_0^u \sin v\,\sin(u-v)\,dv=\frac{\sin u-u\cos u}{2}.$

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   把结果拆成两条振荡的尾巴。 代回去得 $I(p)=\frac12\int_1^\infty\frac{\sin u}{u^p}\,du-\frac12\int_1^\infty\frac{\cos u}{u^{p-1}}\,du.$ 至此，二维的收敛性问题就化成了两个形状完全相同的一维反常积分。

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   对每条尾巴用狄利克雷判别法。 部分积分 $\int_1^X\sin u\,du$ 与 $\int_1^X\cos u\,du$ 都是有界的，所以只要 $u^{-p}$ 单调递减趋于 $0$（即 $p>0$），$\int_1^\infty \sin u/u^p\,du$ 就收敛；而 $\int_1^\infty \cos u/u^{p-1}\,du$ 收敛则要求 $p-1>0$。真正起约束作用的是后一个条件。当 $p=1$ 时第二条尾巴是 $\int_1^\infty\cos u\,du$，一直振荡而不趋于定值；当 $p<1$ 时它的振幅 $u^{1-p}$ 甚至还在增大。所以收敛当且仅当 $p>1$。

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   再单独考察绝对收敛。 取绝对值会毁掉正负抵消：$A(u)=\int_0^u|\sin v\,\sin(u-v)|\,dv$ 是线性增长的，对充分大的 $u$ 有 $cu\le A(u)\le Cu$，这是因为 $|\sin v\sin(u-v)|$ 在每个周期上的平均值为正。于是 $\iint_D|\cdot|\asymp\int_1^\infty u^{1-p}\,du$，它收敛当且仅当 $1-p<-1$，即 $p>2$。

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   把三种情形拼起来。 绝对收敛要求 $p>2$，普通收敛要求 $p>1$，所以当 $1<p\le 2$ 时积分收敛但不绝对收敛，而当 $p\le 1$ 时发散。