求 e^(1 + 2i/n) 当 i 从 1 取到 n 求和的闭式。

Step-by-step solution

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   先把指数拆开，把常数部分分离出来。 利用 $e^{a+b}=e^{a}e^{b}$，

   $e^{1+\frac{2i}{n}}=e\cdot e^{\frac{2i}{n}}\ \Longrightarrow\ \sum_{i=1}^{n}e^{1+\frac{2i}{n}}=e\sum_{i=1}^{n}\left(e^{2/n}\right)^{i}$

   因为 $e$ 里不含 $i$，可以直接提到求和号外面。

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   看出它的等比结构。 记 $r=e^{2/n}$，各项依次是 $r,r^{2},\dots,r^{n}$：每一项都是前一项乘以固定的公比 $r$。这就是一个有限等比数列，首项 $a=r$，共 $n$ 项——注意 $n$ 既是项数，又出现在公比里面。

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   套用有限等比求和公式。 由 $a+ar+\cdots+ar^{n-1}=a\dfrac{r^{n}-1}{r-1}$，并取 $a=r$：

   $\sum_{i=1}^{n}r^{i}=r\cdot\frac{r^{n}-1}{r-1}$

   这里要求 $r\neq 1$；而对任何正的 $n$ 都有 $e^{2/n}>1$，条件自然满足。

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   化简 $r^{n}$ —— 答案之所以干净就在这一步。

   $r^{n}=\left(e^{2/n}\right)^{n}=e^{2}$

   所以

   $\sum_{i=1}^{n}e^{\frac{2i}{n}}=e^{2/n}\cdot\frac{e^{2}-1}{e^{2/n}-1}$

   对 $n$ 的依赖全部收进了 $e^{2/n}$ 这一个因子和那个分母里。

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   再乘回 $e$，并看看结果的含义。

   $\sum_{i=1}^{n}e^{1+\frac{2i}{n}}=e^{1+\frac{2}{n}}\cdot\frac{e^{2}-1}{e^{2/n}-1}$

   它恰好是 $\int_{1}^{3}e^{x}dx=e^{3}-e$ 的右端点黎曼和的 $\tfrac{n}{2}$ 倍：乘上小区间宽度 $\tfrac2n$ 再令 $n\to\infty$，用 $e^{2/n}-1\approx\tfrac2n$ 就能还原出 $e\left(e^{2}-1\right)=e^{3}-e$ ✓。