求 t > 1 时 (t − 1) ẋ − x + 1 = t 的全部解 x(t)。

Step-by-step solution

1. 1

   先把方程整理干净。 把常数移到右边： $(t-1)\dot{x}-x=t-1.$ 这样写出来，右边是 $t-1$ 的一个干净倍数，这提示整个方程马上就要塌成很简单的样子。

2. 2

   化成标准线性形式。 由于 $t>1$，可以放心除以 $t-1$： $\dot{x}-\frac{1}{t-1}x=1,$ 它就是 $\dot{x}+p(t)x=q(t)$，其中 $p(t)=-\dfrac{1}{t-1}$，$q(t)=1$。

3. 3

   构造积分因子。 $\mu(t)=e^{\int p\,dt}=e^{-\ln(t-1)}=\frac{1}{t-1},$ 这里 $\ln(t-1)$ 不用加绝对值，因为 $t-1>0$。

4. 4

   两边同乘，认出乘积法则。 $\frac{\dot{x}}{t-1}-\frac{x}{(t-1)^2}=\frac{1}{t-1}\ \Longleftrightarrow\ \left(\frac{x}{t-1}\right)^{\!\prime}=\frac{1}{t-1}.$

5. 5

   积分并还原。 $\frac{x}{t-1}=\ln(t-1)+C\ \Longrightarrow\ x(t)=(t-1)\bigl(\ln(t-1)+C\bigr).$

6. 6

   代入检验。 取 $x=(t-1)(\ln(t-1)+C)$，则 $\dot{x}=\ln(t-1)+C+1$，于是 $(t-1)\dot{x}-x+1=(t-1)\bigl(\ln(t-1)+C+1\bigr)-(t-1)\bigl(\ln(t-1)+C\bigr)+1=(t-1)+1=t.$ 这个恒等式对每一个 $C$ 都成立，所以这就是完整的解族。