求当 x 趋于无穷时 3 的极限。

Step-by-step solution

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   先看清楚这是什么函数。 极限号里的表达式里压根没有 $x$，所以它是常数函数 $f(x)=3$，图像是一条高度为 $3$ 的水平直线。

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   用极限的常数法则。 对任意常数 $c$，无论自变量趋向一个有限点还是趋向无穷，都有

   $\lim_{x\to a}c=c$

   因为输入怎么动，函数的输出都不变。

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   得出结论。

   $\lim_{x\to\infty}3=3$

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   回到定义验证一遍。 无穷远处极限为 $L$ 要求：对每个 $\varepsilon>0$，存在 $M$，使得只要 $x>M$ 就有 $|f(x)-L|<\varepsilon$。这里对任意 $x$ 都有 $|3-3|=0<\varepsilon$，所以随便取哪个 $M$ 都行——条件平凡地成立。

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   注意一个常见的混淆。 答案不是 $\infty$：无限增大的是自变量，不是函数值。也不是“不存在”——常数是最规矩的函数之一。可以对比 $\lim_{x\to\infty}\tfrac{3x+1}{x}=3$，它同样等于 $3$，但理由完全不同：那里函数是一路向 $3$ 靠近，而这里函数从头到尾就待在 $3$ 上。