求 √(x − x⁴) 关于 x 从 x = 0 到 x = 1 的定积分。

Step-by-step solution

1. 1

   先把根号里面因式分解。 写成 $x-x^{4}=x\left(1-x^{3}\right)$，被积函数就拆成了两个独立的幂：

   $I=\int_{0}^{1}x^{1/2}\left(1-x^{3}\right)^{1/2}dx.$

   在 $[0,1]$ 上两个因子都非负，所以根式处处是实数，积分是常义积分。$x^{p}(1-x^{q})^{r}$ 这个形状正是 Beta 函数型积分的标志。

2. 2

   换元 $u=x^{3}$ 凑成 Beta 的形式。 此时 $x=u^{1/3}$，$du=3x^{2}dx$，即 $dx=\tfrac13u^{-2/3}du$，且 $x^{1/2}=u^{1/6}$。积分限不变，$0\to0$、$1\to1$：

   $I=\int_{0}^{1}u^{1/6}(1-u)^{1/2}\cdot\tfrac13u^{-2/3}\,du.$

3. 3

   把 $u$ 的幂次合并。 指数相加，

   $\frac16-\frac23=\frac16-\frac46=-\frac12,$

   于是

   $I=\frac13\int_{0}^{1}u^{-1/2}(1-u)^{1/2}\,du.$

   这正是 Beta 积分 $B(a,b)=\int_{0}^{1}u^{a-1}(1-u)^{b-1}du$，其中 $a-1=-\tfrac12$、$b-1=\tfrac12$，即 $a=\tfrac12$、$b=\tfrac32$。

4. 4

   用 Gamma 函数求值。 由 $B(a,b)=\frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a+b)}$，并结合 $\Gamma\!\left(\tfrac12\right)=\sqrt{\pi}$、$\Gamma\!\left(\tfrac32\right)=\tfrac{\sqrt{\pi}}{2}$、$\Gamma(2)=1$：

   $I=\frac13\cdot\frac{\sqrt{\pi}\cdot\frac{\sqrt{\pi}}{2}}{1}=\frac13\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{6}.$

5. 5

   做数值验证。 在 $[0,1]$ 上用复合辛普森公式取二百万个子区间，得到 $0.52359878$，与 $\frac{\pi}{6}=0.52359878$ 一致 ✓。吻合精度略受限于两个端点处导数的根式奇性——这恰恰说明为什么这道题走 Beta 函数比走数值积分更靠谱。