求 x 从右侧趋于 0 时 1/x − ⌊1/x⌋ 的极限，其中 ⌊ ⌋ 表示取整（下取整）函数。

Step-by-step solution

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   先认出这就是小数部分。 对任意实数 $t$，$t - \lfloor t \rfloor$ 就是小数部分 $\{t\}$，它恒满足 $0 \le \{t\} < 1$。所以整个式子就是 $\left\{\tfrac1x\right\}$，被困在 $[0,1)$ 内——但有界本身从来都不能证明极限存在。

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   看看内层函数在做什么。 当 $x \to 0^{+}$ 时 $\tfrac1x \to +\infty$。一个奔向无穷的量，它的小数部分会一遍又一遍地扫过 $[0,1)$，每增加一个单位就扫一遍——而 $\tfrac1x$ 是无界增长的，所以在任何区间 $(0,\delta)$ 上它都要扫无穷多遍。

3. 3

   造一个取值恒为 0 的数列。 取 $x_n = \tfrac{1}{n}$（$n$ 为整数），这时 $\tfrac{1}{x_n} = n$ 是整数，于是

   $\frac{1}{x_n} - \left\lfloor \frac{1}{x_n} \right\rfloor = n - n = 0$

   而且 $x_n \to 0^{+}$。

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   再造一个取值恒为 1/2 的数列。 取 $y_n = \dfrac{1}{n + \tfrac12}$，这时 $\tfrac{1}{y_n} = n + \tfrac12$，它的整数部分是 $n$，于是

   $\frac{1}{y_n} - \left\lfloor \frac{1}{y_n} \right\rfloor = \frac12$

   同样有 $y_n \to 0^{+}$。

5. 5

   用归结原则下结论。 如果极限存在且等于 $L$，那么任何趋于 $0^{+}$ 的数列都必须把函数值逼到 $L$。可这两个数列分别给出 $0$ 和 $\tfrac12$，所以这样的 $L$ 不存在：

   $\lim_{x \to 0^{+}} \left(\frac{1}{x} - \left\lfloor \frac{1}{x} \right\rfloor\right) \text{ 不存在}$

   事实上，对任意 $c \in [0,1)$ 取 $x = \tfrac{1}{n + c}$ 都能让函数值恰好等于 $c$，所以 $[0,1)$ 中的每一个数都是子列极限。