求 x²·e^(−x²) 关于 x 的不定积分。

Step-by-step solution

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   把 $x^{2}$ 拆开，让其中一个 $x$ 跟着指数函数走。 因子 $xe^{-x^{2}}$ 有初等原函数（内层导数是 $-2x$），而单独的 $e^{-x^{2}}$ 没有。所以取

   $u=x,\qquad dv=xe^{-x^{2}}\,dx.$

   若反过来取 $dv=e^{-x^{2}}dx$，立刻就卡住了——怎么配对正是这道题的全部诀窍。

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   用换元求 $v$。 令 $t=-x^{2}$，则 $dt=-2x\,dx$：

   $v=\int xe^{-x^{2}}dx=-\frac12\int e^{t}\,dt=-\frac12 e^{-x^{2}}.$

   另外 $du=dx$。式子里的 $-\tfrac12$ 来自换元时的 $\frac{1}{-2}$，必须一路带下去。

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   作分部积分。 用 $\int u\,dv=uv-\int v\,du$：

   $\int x^{2}e^{-x^{2}}dx=x\left(-\frac12 e^{-x^{2}}\right)-\int\left(-\frac12 e^{-x^{2}}\right)dx=-\frac{x}{2}e^{-x^{2}}+\frac12\int e^{-x^{2}}dx.$

   剩下的正是高斯积分——比一开始的式子简单，这说明配对选对了。

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   用误差函数来表示高斯积分。 $\int e^{-x^{2}}dx$ 没有初等原函数。误差函数的定义恰恰就是为它起个名字：

   $\operatorname{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x}e^{-t^{2}}dt\;\Longrightarrow\;\int e^{-x^{2}}dx=\frac{\sqrt{\pi}}{2}\operatorname{erf}(x)+C.$

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   拼出结果并验算。 代回去得

   $\int x^{2}e^{-x^{2}}dx=-\frac{x}{2}e^{-x^{2}}+\frac{\sqrt{\pi}}{4}\operatorname{erf}(x)+C.$

   求导：$-\tfrac12 e^{-x^{2}}+x^{2}e^{-x^{2}}+\tfrac{\sqrt{\pi}}{4}\cdot\tfrac{2}{\sqrt{\pi}}e^{-x^{2}}=x^{2}e^{-x^{2}}$ ✓——两个半项恰好抵消。在 $x=0.9$ 处作数值检验，两边都给出 $0.3603350$ ✓。附带一提，由于 $\operatorname{erf}(\infty)=1$ 而第一项趋于零，可得 $\int_{0}^{\infty}x^{2}e^{-x^{2}}dx=\tfrac{\sqrt{\pi}}{4}$。