求当 x 趋于 0 时 sin(9x)/cot(12x) 的极限。

Step-by-step solution

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   先弄清为什么直接代入会卡住。 在 $x=0$ 处分子 $\sin(9x)$ 趋于 $0$，而 $\cot(12x)=\cos(12x)/\sin(12x)$ 却发散。形如 $0/\infty$ 的商其实并不是未定式，但余切把这一点掩盖了，所以先改写再下结论。

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   把余切换成正弦与余弦。 由 $\cot\theta=\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}$，除以 $\cot(12x)$ 等同于乘上它的倒数 $\tan(12x)$： $\frac{\sin(9x)}{\cot(12x)}=\sin(9x)\cdot\frac{\sin(12x)}{\cos(12x)}=\frac{\sin(9x)\sin(12x)}{\cos(12x)}.$

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   逐个看每个因子在 $x\to 0$ 时的表现。 正弦连续且 $\sin 0=0$，所以 $\sin(9x)\to 0$、$\sin(12x)\to 0$。余弦连续且 $\cos 0=1$，所以 $\cos(12x)\to 1$。关键在于分母不再趋于 $0$，因此既不用约分，也不用洛必达法则。

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   把极限值代进去。 $\lim_{x\to 0}\frac{\sin(9x)\sin(12x)}{\cos(12x)}=\frac{0\cdot 0}{1}=0.$

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   做数值合理性检验。 取 $x=0.01$，原式等于 $\sin(0.09)\tan(0.12)\approx 0.0899\times 0.1206\approx 0.01084$；取 $x=0.001$ 时约为 $0.000108$——$x$ 每缩小 $10$ 倍，函数值大约缩小 $100$ 倍，正是主项 $108x^2$ 所预示的规律。所以极限是 $0$。