用拉普拉斯变换求解积分微分方程 y′(t) − 2∫₀ᵗ y(τ) sin(t − τ) dτ = 1，初始条件 y(0) = −1。

Step-by-step solution

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   先认出那个积分其实是卷积。 它恰好长成 $\int_0^t y(\tau)g(t-\tau)\,d\tau=(y*g)(t)$ 的形状，其中 $g(t)=\sin t$。这正是拉普拉斯变换成为趁手工具的原因：卷积定理说 $\mathcal{L}\{y*g\}=Y(s)G(s)$，一个麻烦的积分就此变成普通乘积。由 $\mathcal{L}\{\sin t\}=\tfrac{1}{s^2+1}$，积分那一项变换后就是 $\tfrac{2Y(s)}{s^2+1}$。

2. 2

   对整个方程做变换。 用 $\mathcal{L}\{y'\}=sY(s)-y(0)$ 以及 $y(0)=-1$，再加上 $\mathcal{L}\{1\}=\tfrac1s$：

   $sY(s)+1-\frac{2Y(s)}{s^2+1}=\frac{1}{s}.$

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   用代数解出 $Y(s)$。 把含 $Y$ 的项通分合并，常数移到右边：

   $Y(s)\cdot\frac{s(s^2+1)-2}{s^2+1}=\frac{1}{s}-1=\frac{1-s}{s}.$

   那个三次式分解为 $s^3+s-2=(s-1)(s^2+s+2)$，而 $1-s=-(s-1)$，于是 $(s-1)$ 正好约掉 —— 这是运算走在正轨上的有力信号：

   $Y(s)=-\frac{s^2+1}{s\,(s^2+s+2)}.$

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   做部分分式分解。 写成 $\dfrac{s^2+1}{s(s^2+s+2)}=\dfrac{A}{s}+\dfrac{Bs+C}{s^2+s+2}$。去分母得到 $(A+B)s^2+(A+C)s+2A=s^2+1$，于是 $2A=1$、$A+C=0$、$A+B=1$，即 $A=\tfrac12$、$B=\tfrac12$、$C=-\tfrac12$。因此

   $Y(s)=-\frac{1}{2s}-\frac{s-1}{2(s^2+s+2)}.$

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   配方，好套上平移定理。 这个二次式有复根，所以不去分解它，而是写成 $s^2+s+2=\left(s+\tfrac12\right)^2+\tfrac74$，并把分子也按同样的平移改写，$s-1=\left(s+\tfrac12\right)-\tfrac32$：

   $Y(s)=-\frac{1}{2s}-\frac12\cdot\frac{s+\tfrac12}{\left(s+\tfrac12\right)^2+\left(\tfrac{\sqrt7}{2}\right)^2}+\frac34\cdot\frac{1}{\left(s+\tfrac12\right)^2+\left(\tfrac{\sqrt7}{2}\right)^2}.$

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   逐项做逆变换。 这三块分别对应常数、衰减余弦和衰减正弦（最后一块还要配上因子 $\tfrac{1}{\omega}=\tfrac{2}{\sqrt7}$，于是 $\tfrac34\cdot\tfrac{2}{\sqrt7}=\tfrac{3}{2\sqrt7}$）：

   $y(t)=-\frac12-\frac12e^{-t/2}\cos\!\left(\frac{\sqrt7}{2}t\right)+\frac{3}{2\sqrt7}e^{-t/2}\sin\!\left(\frac{\sqrt7}{2}t\right).$

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   检验这个解。 在 $t=0$ 处正弦项为零，$y(0)=-\tfrac12-\tfrac12=-1$，与初始条件吻合。把闭式解代回去，在若干个 $t$ 处数值计算 $y'(t)-2\int_0^t y(\tau)\sin(t-\tau)\,d\tau$，每次都返回 $1.000000$，说明这个答案满足的是原方程，而不只是初始条件。