求 a·y'' + b·y = 0 的通解，其中 a、b 是常数且 a 不为零。

Step-by-step solution

1. 1

   先把方程化成标准形式。 两边同除以 $a$（因为 $a \ne 0$，这一步合法），得

   $y'' + \frac{b}{a}y = 0$

   真正起作用的只有 $\tfrac{b}{a}$ 这一个比值——$a$ 和 $b$ 各自的取值以后再也不会单独出现。

2. 2

   写出特征方程。 令 $y = e^{rx}$ 代入，再约掉恒不为零的 $e^{rx}$：

   $r^2 + \frac{b}{a} = 0 \quad\Longrightarrow\quad r^2 = -\frac{b}{a}$

   $r$ 的一次项不存在，因为方程里没有 $y'$ 项——这就是无阻尼的情形，所以两个根要么是纯虚数，要么是纯实数，不会两者混杂。

3. 3

   情形 b/a > 0：两个纯虚根。 此时 $r = \pm i\sqrt{b/a}$，于是

   $y = C_1\cos\!\left(\sqrt{\tfrac{b}{a}}\,x\right) + C_2\sin\!\left(\sqrt{\tfrac{b}{a}}\,x\right)$

   这就是角频率 $\omega = \sqrt{b/a}$ 的简谐振动——弹簧振子方程 $m\ddot y + ky = 0$ 正是这种情形。

4. 4

   情形 b/a < 0：两个实根。 此时 $r = \pm\sqrt{-b/a}$，于是

   $y = C_1e^{\sqrt{-b/a}\,x} + C_2e^{-\sqrt{-b/a}\,x}$

   一个解随 $x$ 增大而增长，另一个衰减；等价地也可以写成 $y = A\cosh\!\left(\sqrt{-b/a}\,x\right) + B\sinh\!\left(\sqrt{-b/a}\,x\right)$。

5. 5

   情形 b = 0：零是二重根。 方程退化成 $y'' = 0$，它的解就是所有直线

   $y = C_1x + C_2$

   这正是 $r = 0$ 的重根情形，两个线性无关的解是 $e^{0x} = 1$ 和 $xe^{0x} = x$。

6. 6

   验证其中一种情形。 取 $a = 2$、$b = 8$，则 $\tfrac{b}{a} = 4$，通解为 $y = C_1\cos 2x + C_2\sin 2x$。把 $y = \cos 2x$ 代入：$y'' = -4\cos 2x$，于是 $2(-4\cos 2x) + 8\cos 2x = 0$，正确。