求当 x 趋于 −5 时 (√(4 − x) − 3)/(x² + 7x + 10) 的极限。

Step-by-step solution

1. 1

   先确认这是未定式。 在 $x=-5$ 处，分子为 $\sqrt{5+4}-3=\sqrt9-3=0$，分母为 $25-35+10=0$。所以这个商属于 $\tfrac00$ 型，说明 $(x+5)$ 同时整除分子和分母，代入之前必须先把它约掉。

2. 2

   先分解分母。 积为 $10$、和为 $7$ 的两个数是 $5$ 和 $2$：

   $x^{2}+7x+10=(x+5)(x+2)$

   $(x+5)$ 已经显式露出来了；接下来的任务是在分子上也造出一个来。

3. 3

   给分子乘上它的共轭式。 用 $\left(\sqrt{u}-3\right)\left(\sqrt{u}+3\right)=u-9$，取 $u=4-x$：

   $\left(\sqrt{4-x}-3\right)\left(\sqrt{4-x}+3\right)=(4-x)-9=-x-5=-(x+5)$

   根号消失了，盼着的 $(x+5)$ 也出现了——只是前面带着一个必须带好的负号。

4. 4

   约分并化简。 商变成

   $\frac{-(x+5)}{(x+5)(x+2)\left(\sqrt{4-x}+3\right)}=\frac{-1}{(x+2)\left(\sqrt{4-x}+3\right)}$

   它在 $x\neq-5$ 时成立，而这恰好就是求极限所考察的去心邻域。把这个形式与原式在 $x=-6,-5.1,-4.9,-4$ 处比对，误差在 $10^{-8}$ 以内 ✓。

5. 5

   把 x 代入化简后的表达式。 它在 $x=-5$ 处连续：

   $\frac{-1}{(-5+2)\left(\sqrt{9}+3\right)}=\frac{-1}{(-3)(6)}=\frac{1}{18}$

   两个负号抵消，所以极限是正的。

6. 6

   做数值验证。 在 $x=-5\pm10^{-5}$ 处，原式分别算得 $0.05555576$ 和 $0.05555535$，正好把 $\tfrac1{18}=0.0555556$ 夹在中间 ✓。两个单侧极限一致，所以极限存在且等于 $\tfrac{1}{18}$。