求当 x 趋于 5 时 (√(x + 11) − 6)/(x − 5) 的极限，或说明它为什么不存在。

Step-by-step solution

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   在挑方法之前先代一下值。 $\dfrac{\sqrt{u(x)}-c}{x-a}$ 这种形状通常提示「把分子有理化」，但那只在分子确实为零时才对。先验一下：

   $\sqrt{5+11}-6=\sqrt{16}-6=4-6=-2$

   而分母是 $5-5=0$。所以形式是 $\dfrac{-2}{0}$，不是 $\dfrac{0}{0}$。

2. 2

   看看常用的共轭技巧在这里为什么失效。 乘以 $\dfrac{\sqrt{x+11}+6}{\sqrt{x+11}+6}$ 后分子变成 $(x+11)-36=x-25$，于是

   $\frac{\sqrt{x+11}-6}{x-5}=\frac{x-25}{(x-5)\left(\sqrt{x+11}+6\right)}$

   在 $x=5$ 处新分子是 $-20\ne 0$，而因式 $(x-5)$ 仍孤零零地留在分母里。什么都约不掉——真正的 $\tfrac{c}{0}$ 就长这样。（一个常见的失手是把 $x-25$ 「分解」成 $(x-5)(x+5)$——可 $(x-5)(x+5)=x^2-25$，不是 $x-25$。）

3. 3

   分别求两个单侧极限。 在 $x=5$ 附近分子接近 $-2<0$，所以商的符号与 $x-5$ 的符号相反：

   $\lim_{x\to 5^{+}}\frac{\sqrt{x+11}-6}{x-5}=-\infty,\qquad \lim_{x\to 5^{-}}\frac{\sqrt{x+11}-6}{x-5}=+\infty$

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   数值确认。 取 $x=5.0001$，商约为 $-2.0\times10^{4}$；取 $x=4.9999$，商约为 $+2.0\times10^{4}$。两侧朝相反的方向跑开。

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   给出结论。 两个单侧极限不相等（而且都不是有限值），所以双侧极限不存在；直线 $x=5$ 是这个函数的一条竖直渐近线。值得记住的一般规律是：只有 $\tfrac00$ 才是未定式——非零数除以零永远给出无穷极限或极限不存在，绝不会是某个有限值。