计算 x·cos(x + y) 在以 (0,0)、(π,0)、(π,π) 为顶点的三角形区域上的二重积分。

Step-by-step solution

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   先用不等式把三角形描述出来。 三个顶点分别由 $y=0$、$x=\pi$ 和 $y=x$ 连接，所以区域是 $\{0\le x\le\pi,\ 0\le y\le x\}$。先对 $y$ 积分，可以把带变量的那一层积分限留在里层——它本来就该在里层。

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   先对 y 积分。 $\int_0^{x}\cos(x+y)\,dy=\left[\sin(x+y)\right]_0^{x}=\sin 2x-\sin x$，内层积完之后因子 $x$ 提到前面：$x\left(\sin 2x-\sin x\right)$。

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   拆成两个标准积分。 即 $\int_0^{\pi}x\sin 2x\,dx$ 和 $\int_0^{\pi}x\sin x\,dx$，两个都取 $u=x$ 用分部积分处理。

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   用分部积分算第一个。 $\int x\sin 2x\,dx=-\frac{x\cos 2x}{2}+\frac{\sin 2x}{4}$。在 $x=\pi$ 处它等于 $-\frac{\pi}{2}$（因为 $\cos 2\pi=1$、$\sin 2\pi=0$），在 $x=0$ 处等于 $0$，所以这一段的值是 $-\frac{\pi}{2}$。

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   用分部积分算第二个。 $\int x\sin x\,dx=-x\cos x+\sin x$。在 $x=\pi$ 处它等于 $\pi$（因为 $\cos\pi=-1$），在 $x=0$ 处等于 $0$，所以这一段的值是 $\pi$。

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   带上负号合并。 整个积分等于 $-\frac{\pi}{2}-\pi=-\frac{3\pi}{2}\approx -4.712389$。

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   数值检验。 在这个三角形上做自适应数值积分得到 $-4.71238898$，而 $-\frac{3\pi}{2}=-4.71238898$，精确值得到确认。