化简并分解 (y′)² − 4x²y′ + 4x⁴ − x²，再用分解结果解令它等于零得到的微分方程。

Step-by-step solution

1. 1

   把 $y'$ 当成变量，先看出一个完全平方。 把前三项归到一起，

   $(y')^2-4x^2y'+4x^4=(y'-2x^2)^2$

   因为 $2\cdot y'\cdot 2x^2=4x^2y'$ 且 $(2x^2)^2=4x^4$。剩下的就只有 $-x^2$ 一项。

2. 2

   认出这是平方差。 现在式子是

   $(y'-2x^2)^2-x^2=\bigl(y'-2x^2-x\bigr)\bigl(y'-2x^2+x\bigr)$

   这里用的是 $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$，取 $A=y'-2x^2$、$B=x$。

3. 3

   展开验证这个分解。 乘开后 $(y'-2x^2)^2-x^2=(y')^2-4x^2y'+4x^4-x^2$，正是原式。再取 $y'=1.4$、$x=0.7$ 数值抽查，两边都是 $-1.5906$。

4. 4

   令每个因式为零，把微分方程拆开。 乘积为零当且仅当某个因式为零，于是这个关于 $y'$ 的二次型方程就分成了两个简单方程：

   $y'=2x^2+x\qquad\text{或}\qquad y'=2x^2-x$

5. 5

   对两支分别积分。

   $y=\frac{2x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+C\qquad\text{或}\qquad y=\frac{2x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+C$

   得到两族单参数解，这正是意料之中的：方程关于 $y'$ 是二次的，所以平面上每一点都有两个允许的斜率。

6. 6

   把其中一族解代回原方程检验。 对 $y=\tfrac{2x^3}{3}+\tfrac{x^2}{2}$ 有 $y'=2x^2+x$，于是 $y'-2x^2=x$，从而

   $(y'-2x^2)^2-x^2=x^2-x^2=0\ \checkmark$

   另一族解同理，只要把 $y'-2x^2=-x$ 代进去即可。