解微分方程 y'' − 3y' + 2y = e^x。

Step-by-step solution

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   先解齐次方程。 把 $y = e^{rx}$ 代入 $y'' - 3y' + 2y = 0$，得到特征方程

   $r^2 - 3r + 2 = (r-1)(r-2) = 0 \quad\Longrightarrow\quad r = 1,\ 2$

   所以 $y_h = C_1e^{x} + C_2e^{2x}$。这一步必须放在求特解之前，因为它告诉我们右端的驱动项是否与齐次解共振。

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   识别出共振。 驱动项 $e^{x}$ 的指数是 $1$，正是特征根之一——也就是说 $e^{x}$ 本身已经是齐次解了。若试探 $y_p = Ae^{x}$，代入后结果恒为 $0$，永远等不到 $e^{x}$，所以这个试探解根本行不通。

3. 3

   把试探解乘上 x。 对单重根，标准的补救办法就是多乘一个 $x$：取 $y_p = Axe^{x}$。于是

   $y_p' = A(1 + x)e^{x}, \qquad y_p'' = A(2 + x)e^{x}$

4. 4

   代入并比较系数。

   $A(2+x)e^{x} - 3A(1+x)e^{x} + 2Axe^{x} = A e^{x}\left[(2+x) - 3(1+x) + 2x\right] = -Ae^{x}$

   含 $x$ 的项恰好抵消——这正是共振试探解选对了的标志。令 $-Ae^x = e^x$ 得 $A = -1$，所以 $y_p = -xe^{x}$。

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   拼出通解并验算。

   $y = C_1e^{x} + C_2e^{2x} - xe^{x}$

   验算：由 $y_p = -xe^x$ 得 $y_p' = -(1+x)e^x$、$y_p'' = -(2+x)e^x$，于是 $y_p'' - 3y_p' + 2y_p = e^x\left[-(2+x) + 3(1+x) - 2x\right] = e^x$，与要求一致。