计算 x 与 y 都从 −R 到 R 的正方形区域上的二重积分，被积函数为 x 除以 (R² + y²)(R² − x²) 的平方根。

Step-by-step solution

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   把被积函数拆成只含 x 的部分与只含 y 的部分。 根号里的因式可以拆开，于是 $\frac{x}{\sqrt{(R^2+y^2)(R^2-x^2)}} = \frac{x}{\sqrt{R^2-x^2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{R^2+y^2}}.$ 两个变量之间没有任何纠缠。

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   利用可分离性，把二重积分拆成两个积分的乘积。 在矩形区域 $[-R,R]\times[-R,R]$ 上，$I = \left(\int_{-R}^{R}\frac{x\,dx}{\sqrt{R^2-x^2}}\right)\left(\int_{-R}^{R}\frac{dy}{\sqrt{R^2+y^2}}\right).$ 只要有一个因子为零，整个积分就是零——所以先看简单的那个。

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   注意关于 x 的积分是反常积分，先确认它收敛。 当 $x\to\pm R$ 时被积函数发散，所以在动用对称性之前必须先把收敛性坐实。在 $[0,R]$ 上：$\int_0^{R}\frac{x\,dx}{\sqrt{R^2-x^2}} = \left[-\sqrt{R^2-x^2}\right]_0^{R} = 0+R = R,$ 是一个有限值。对称的另一半用同样的算法收敛到 $-R$。

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   再用奇函数的对称性。 $f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{R^2-x^2}}$ 满足 $f(-x)=-f(x)$，而 $[-R,R]$ 关于 $0$ 对称。既然两半都绝对收敛，$\int_{-R}^{R}f(x)\,dx = -R+R = 0.$

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   下结论，同时确认另一个因子是有限的。 $\displaystyle\int_{-R}^{R}\frac{dy}{\sqrt{R^2+y^2}} = 2\operatorname{arsinh}(1) = 2\ln\!\left(1+\sqrt2\right)$，是一个有限的正数。有限数乘以零还是零：$I = 0.$

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   说明那步收敛判断为什么不能省。 假如关于 $x$ 的积分发散（比如把被积函数换成 $\tfrac{x}{R^2-x^2}$），两半就分别是 $+\infty$ 和 $-\infty$，这时「对称区间上的奇函数」并不能推出积分值为 $0$——积分根本就不存在。