解微分方程 dy/dx = e^y。

Step-by-step solution

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   分离变量。 所有含 $y$ 的部分都在右边，所以两边除以 $e^{y}$ —— 这一步合法，因为 $e^{y}$ 永不为零：

   $e^{-y}\,dy = dx$

2. 2

   两边积分。

   $\int e^{-y}\,dy = \int dx \quad\Longrightarrow\quad -e^{-y} = x + C_0$

   只需要一个常数；把负号吸收进去，写成 $e^{-y} = C - x$，其中 $C = -C_0$。

3. 3

   解出显式的 y。 取自然对数要求 $C - x > 0$：

   $-y = \ln(C - x) \quad\Longrightarrow\quad y = -\ln(C - x)$

4. 4

   读出定义域，这才是本题真正有意思的地方。 解只在 $x < C$ 时存在。当 $x \to C^{-}$ 时，对数里的表达式趋于 $0^{+}$，于是 $y \to +\infty$：尽管右端 $e^{y}$ 处处光滑，解却在有限的 $x$ 处就发散了。这是「局部存在不等于整体存在」的标准例子。

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   代入检验。 取 $C = 5$、$x = 1$：$y = -\ln 4 \approx -1.386294$，于是 $e^{y} = \tfrac14 = 0.25$。另一方面求导得 $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{C-x} = \frac14 = 0.25$。两者一致；在 $x = 1$ 处用步长 $10^{-6}$ 作中心差分，同样得到 $0.250000$。