求当 x 趋于 0 时 √(x³ + 4x²)/x 的极限（若存在）。

Step-by-step solution

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   先看清是什么形式。 根式与 $x$ 都趋于 $0$，所以这个商是 $\frac{0}{0}$ 型，需要先化简。

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   把根号里面分解因式。 $x^3+4x^2=x^2(x+4)$，所以只要 $x+4\ge 0$，就有 $\sqrt{x^3+4x^2}=\sqrt{x^2}\sqrt{x+4}$。

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   正确处理这个平方根。 关键在于 $\sqrt{x^2}=|x|$，而不是 $x$。写成 $\sqrt{x^2}=x$，正是让这道题看起来答案就是 $2$ 的那个错误。

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   化简这个商。 $\frac{|x|\sqrt{x+4}}{x}=\operatorname{sgn}(x)\sqrt{x+4}$，因为 $\frac{|x|}{x}$ 在 $x>0$ 时为 $+1$、在 $x<0$ 时为 $-1$。

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   分别求两个单侧极限。 从右侧，$\lim_{x\to 0^+}=+\sqrt{4}=2$；从左侧，$\lim_{x\to 0^-}=-\sqrt{4}=-2$。

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   下结论。 两个单侧极限都有限，却互不相等，所以双侧极限不存在；函数在原点处有一个大小为 $4$ 的跳跃。