求 e^x/x 关于 x 的不定积分。

Step-by-step solution

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   先把常规方法都试一遍，看它们如何失败。 换元法要求内函数的导数以因子形式出现，可无论取 $u=x$ 还是 $u=e^x$，都凑不出那个 $\tfrac1x$。分部积分只是把难处挪个地方：取 $u=e^x$、$dv=\tfrac{dx}{x}$ 得到 $e^x\ln x-\int e^x\ln x\,dx$，反而更糟。这是一个信号，而不是运气不好。

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   说出真正的结论。 按刘维尔关于初等积分的定理，$\dfrac{e^x}{x}$ 没有初等原函数——没有任何由多项式、指数、对数、三角函数和根式有限组合而成的函数，其导数等于它。它的原函数只能另起一个名字：

   $\int\frac{e^x}{x}\,dx=\operatorname{Ei}(x)+C$

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   给出指数积分的定义。 一种标准定义是

   $\operatorname{Ei}(x)=\int_{-\infty}^{x}\frac{e^t}{t}\,dt$

   由于被积函数在 $t=0$ 处发散，这里取的是柯西主值。按微积分基本定理，对这个定义求导正好还原被积函数：

   $\frac{d}{dx}\operatorname{Ei}(x)=\frac{e^x}{x}$

   这正是原函数所要求的性质。

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   如果一定要一个可算的式子，可以用级数。 把 $e^x=\sum_{n\ge0}\tfrac{x^n}{n!}$ 展开再除以 $x$：

   $\frac{e^x}{x}=\frac1x+\sum_{n\ge1}\frac{x^{n-1}}{n!}$

   逐项积分得到

   $\int\frac{e^x}{x}\,dx=\ln|x|+\sum_{n\ge1}\frac{x^{n}}{n\cdot n!}+C$

   当 $x>0$ 时它等于 $\operatorname{Ei}(x)-\gamma$，其中 $\gamma\approx0.5772$ 是欧拉-马歇罗尼常数。实际计算数值时用的就是这个式子。

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   和那些算得出来的积分对比一下。 $\int e^x\,dx=e^x+C$ 与 $\int\tfrac1x\,dx=\ln|x|+C$ 都是初等的；跑掉的只是它们的商。同样地 $\int e^{-x^2}dx$ 和 $\int\tfrac{\sin x}{x}dx$ 是非初等的，而 $\int xe^{x}dx$ 却没问题——并没有什么简单的经验法则可以一眼判断，这正是那条定理的价值所在。

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   用数值检验一下级数。 在 $x=1$ 处，截断级数 $\ln1+\sum_{n=1}^{20}\tfrac{1}{n\cdot n!}=1.31790$，而 $\operatorname{Ei}(1)-\gamma=1.89512-0.57722=1.31790$ ✓ —— 两者一致，说明逐项积分没有问题。