求 y = e^x / (e^x + e^-x)^2 的导数并化简。

Step-by-step solution

1. 1

   把分式改写成乘积。 把分母以负指数的形式提到分子上，就能避开商的求导法则那个笨重的分子：

   $y=e^{x}\left(e^{x}+e^{-x}\right)^{-2}$

   现在取 $u=e^{x}$、$v=\left(e^{x}+e^{-x}\right)^{-2}$，用乘法法则 $\left(uv\right)'=u'v+uv'$ 即可。

2. 2

   分别对两部分求导。 对 $u$ 有 $u'=e^{x}$。对 $v$ 用链式法则，需要内层的导数

   $\frac{d}{dx}\left(e^{x}+e^{-x}\right)=e^{x}-e^{-x}$

   （第二项因为自身的链式法则带出一个负号），于是

   $v'=-2\left(e^{x}+e^{-x}\right)^{-3}\left(e^{x}-e^{-x}\right)$

3. 3

   按乘法法则拼起来。

   $y'=e^{x}\left(e^{x}+e^{-x}\right)^{-2}-2e^{x}\left(e^{x}+e^{-x}\right)^{-3}\left(e^{x}-e^{-x}\right)$

4. 4

   提出次数最低的那个公因式。 公因式是 $e^{x}\left(e^{x}+e^{-x}\right)^{-3}$ —— 取更负的那个指数，于是第一项会剩下一个 $\left(e^{x}+e^{-x}\right)$ 因子：

   $y'=e^{x}\left(e^{x}+e^{-x}\right)^{-3}\left[\left(e^{x}+e^{-x}\right)-2\left(e^{x}-e^{-x}\right)\right]$

5. 5

   化简方括号并乘开。 把 $-2$ 分配进去：

   $e^{x}+e^{-x}-2e^{x}+2e^{-x}=-e^{x}+3e^{-x}$

   再乘上外面的 $e^{x}$，其中用到 $e^{x}\cdot e^{-x}=1$：

   $e^{x}\left(-e^{x}+3e^{-x}\right)=-e^{2x}+3$

   于是得到紧凑的结果

   $\frac{dy}{dx}=\frac{3-e^{2x}}{\left(e^{x}+e^{-x}\right)^{3}}$

6. 6

   数值验证并找出极值点。 取 $h=10^{-6}$ 作中心差商，在 $x=-1.2$、$0$、$0.7$、$1.9$ 处与该公式的偏差都在 $10^{-6}$ 以内 ✓。当 $e^{2x}=3$ 即 $x=\tfrac12\ln3\approx0.5493$ 时导数为零 —— 这是 $y$ 唯一的极大值点，导数在该处由 $+$ 变 $-$，正好确认了这一点。