求当 x 趋于无穷时 (1 − cos 2x)/(2x) 的极限。

Step-by-step solution

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   先注意分子根本不会稳定下来。 当 $x\to\infty$ 时，$\cos 2x$ 会一直在 $-1$ 与 $1$ 之间来回振荡，所以 $1-\cos 2x$ 没有极限。这就排除了把分式拆开或者用洛必达法则的做法——但这并不妨碍整个商收敛，因为分子始终是有界的。

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   先把分子夹起来。 由 $-1\le\cos 2x\le 1$ 得 $0\le 1-\cos 2x\le 2$ 对每个实数 $x$ 都成立。这就是关键的不等式：有界的分子，配上一个无限增大的分母。

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   两边同时除以正的分母。 当 $x>0$ 时 $2x>0$，相除不会改变不等号的方向：$0\le\frac{1-\cos 2x}{2x}\le\frac{2}{2x}=\frac{1}{x}.$

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   用夹逼定理。 两侧的界限趋向同一个地方：$\lim_{x\to\infty}0=0$，$\lim_{x\to\infty}\tfrac1x=0$。被两个极限相同的量夹住的函数，必然也取同一个极限，于是 $\lim_{x\to\infty}\frac{1-\cos 2x}{2x}=0.$

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   取几个点验证一下。 在 $x=1000$ 处分子最大也不过 $2$，所以这个商至多是 $2/2000=0.001$；到 $x=10^6$ 时至多是 $10^{-6}$。上界本身塌向 $0$，这就把答案锁死了。